2014-安徽卷理-07 单-直观图的还原

本题导读

本题考查根据三视图还原空间几何体并计算其表面积。核心挑战在于识别出该几何体是由一个正方体切割去两个对称角上的三棱锥所得。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()

A. $21+\sqrt{3}$　　　　　B. $18+\sqrt{3}$　　　　　C. $21$　　　　　D. $18$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原直观图：观察正（主）、侧（左）、俯视图均为边长为 $2$ 的正方形被斜线切割。这说明原几何体是在一个棱长为 $2$ 的正方体基础上进行切割得到的。
2. 分析切割方式：
   • 三个视图中均出现了实线和虚线切割角的情况。
   • 还原后可发现：该几何体是一个棱长为 $2$ 的正方体，分别挖去了两个相对角上的三棱锥。
   • 挖去的每个三棱锥都是以正方体顶点为顶点，三条棱的中点连接构成的等腰直角三角形为底面的三棱锥（即棱长均为 $1$ 的三条侧棱）。
3. 计算表面积：
   • 原始正方体表面积：$6\times 2^2=24$。
   • 挖去部分的表面积损失：每个角挖去时，正方体表面减少了三个直角边为 $1$ 的等腰直角三角形，但增加了一个边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形斜面。
   • 统计总面积。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定几何体结构 该多面体是由棱长为 $2$ 的正方体，在左下角挖去一个侧棱长均为 $1$ 的三棱锥，在右上角对称地挖去另一个相同的三棱锥所得。

第二步：计算原正方体表面减少的部分 每个三棱锥切割时，在正方体的三个面上各留下一个面积为 $\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$ 的缺失区域。 总共挖去两个角，涉及 $6$ 个面，每个面减少的面积为 $\frac{1}{2}$。 减少的总面积为：$6\times \frac{1}{2}=3$。

第三步：计算切割后新增的斜面面积 新增的面是两个全等的等边三角形，其边长为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 单个等边三角形面积 $S_{△}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 新增总面积为：$2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

第四步：求和得出最终表面积 $S_{总}=S_{正方体}-S_{减少}+S_{新增}$ $S_{总}=(6\times 2^2)-3+\sqrt{3}$ $S_{总}=24-3+\sqrt{3}=21+\sqrt{3}$

故选 A


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三视图还原几何体并求表面积。

2. 核心方法：识别正方体挖去两个对称三棱锥，用”原表面积-减少+新增”求表面积。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正方体切割与三视图还原。

2. 结论推广: 切割体表面积=原表面积-切面减少+新增斜面。

3. 方法推广: 三视图还原先定母体（正方体/长方体）再分析切割。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷理-05 单-空间几何体的三视图与直观图
• 2013-陕西卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原