2014-安徽卷理-09 单-函数最值

本题导读

本题考查含参数的绝对值函数最值问题。核心思路是利用绝对值的几何意义或零点分段法，通过讨论参数 $a$ 的范围，确定函数图象的最低点位置，进而建立方程求解参数。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 若函数 $f(x)=|x+1|+|2x+a|$ 的最小值为 $3$，则实数 $a$ 的值为()

A. $5$ 或 $8$　　　B. $-1$ 或 $5$　　　C. $-1$ 或 $-4$　　　D. $-4$ 或 $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定零点：函数由两个绝对值项组成，其零点分别为 $x_1=-1$ 和 $x_2=-\frac{a}{2}$。

2. 分析函数图象：这是一个“折线型”函数。由于 $x$ 前的系数分别为 $1$ 和 $2$，图象在两端无限延伸时斜率分别为 $3$ 和 $-3$，在中间段斜率为 $1$ 或 $-1$。

3. 寻找最值点：对于此类函数，最小值必然在其中一个零点处取得。即 $f_{min}=\min \{f(-1),f(-\frac{a}{2})\}$。

4. 分类讨论：比较 $-1$ 与 $-\frac{a}{2}$ 的大小，或者直接分别令 $f(-1)=3$ 和 $f(-\frac{a}{2})=3$ 进行计算并验证。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入零点求候选值

情况 ①：若最小值在 $x=-1$ 处取得，则 $f(-1)=3$。

$|-1+1|+|2(-1)+a|=3$

$|a-2|=3$

解得 $a-2=3$ 或 $a-2=-3$，即 $a=5$ 或 $a=-1$。

验证： 当 $a=5$ 时，$f(x)=|x+1|+|2x+5|$。零点为 $-1,-2.5$。$f(-1)=3,f(-2.5)=1.5$。此时最小值为 $1.5\ne 3$，舍去。

当 $a=-1$ 时，$f(x)=|x+1|+|2x-1|$。零点为 $-1,0.5$。$f(-1)=3,f(0.5)=1.5$。此时最小值为 $1.5\ne 3$，舍去。

情况 ②：若最小值在 $x=-\frac{a}{2}$ 处取得，则 $f(-\frac{a}{2})=3$。

$|-\frac{a}{2}+1|+|2(-\frac{a}{2})+a|=3$

$|\frac{2-a}{2}|=3$

$|2-a|=6$

解得 $2-a=6$ 或 $2-a=-6$，即 $a=-4$ 或 $a=8$。

验证： 当 $a=-4$ 时，$f(x)=|x+1|+|2x-4|$。零点为 $-1,2$。$f(-1)=6,f(2)=3$。此时最小值为 $3$，符合。

当 $a=8$ 时，$f(x)=|x+1|+|2x+8|$。零点为 $-1,-4$。$f(-1)=6,f(-4)=3$。此时最小值为 $3$，符合。

第二步：得出结论

实数 $a$ 的值为 $-4$ 或 $8$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参数绝对值函数的最值。

2. 核心方法：求零点，代入零点令最小值等于 $3$ 解 $a$，再代回验证。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值函数的零点分段与”折线型”图象。

2. 结论推广: $|x-a|+|x-b|$ 型函数最小值在零点处取得。

3. 方法推广: 含参绝对值最值问题用零点分段法或直接代入零点讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-20 解-函数最值
• 2015-上海卷文-14 填-三角函数最值
• 2014-大纲卷文-14 填-三角函数最值