2015-安徽卷文-14 填-绝对值函数

本题导读

本题考查绝对值函数图象的平移与交点个数问题，体现数形结合思想。

📌【题干】

Question

（2015年安徽卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若直线 $y=2a$ 与函数 $y=|x-a|-1$ 的图象只有一个交点，则 $a$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析绝对值函数 $y=|x-a|-1$ 的图象特征，其顶点坐标为 $(a,-1)$，图象呈“V”字形，开口向上，两腰斜率分别为 $1$ 和 $-1$。
2. 直线 $y=2a$ 是一条平行于 $x$ 轴的水平线。
3. 要使直线与函数图象只有一个交点，结合顶点纵坐标与水平线的位置关系进行临界分析。

✅【答案】

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$-\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=|x-a|-1$ 的最小值为 $-1$（当 $x=a$ 时取得）。

• 当 $2a>-1$ 时，水平线 $y=2a$ 位于顶点上方，与“V”字形图象有 $2$ 个交点；
• 当 $2a<-1$ 时，水平线位于顶点下方，没有交点；
• 当 $2a=-1$ 时，水平线恰好通过顶点 $(a,-1)$，此时只有一个交点。 由 $2a=-1$ 解得 $a=-\frac{1}{2}$。 答案：$-\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值函数图象、交点问题。
2. 核心方法：数形结合法。
3. 避坑指南：容易忽略当直线恰好穿过顶点时的临界状态，误认为没有交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值函数与方程交点问题。
2. 结论推广: 含参绝对值不等式与函数图象的综合应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-安徽卷理-20 解-空间向量及其运算
• 2014-安徽卷理-08 单-空间两直线所成的角
• 2014-安徽卷理-09 单-函数最值