2014-安徽卷理-17 解-相互独立事件的概率

本题导读

本题考查独立重复试验背景下的比赛胜负概率，以及随机变量的分布列与数学期望。核心是比赛”提前结束”这一特征，按决出胜负的局数分类列举所有可能的胜负序列。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$，各局比赛结果相互独立.

(1) 求甲在 4 局以内（含 4 局）赢得比赛的概率；

(2) 记 $X$ 为比赛决出胜负时的总局数，求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：甲赢得比赛的”短路径”是连胜。把「甲在 4 局以内取胜」拆成第 2、3、4 局取胜三种情形，分别写出对应的胜负序列再求概率。
2. 第二问：按「决出胜负的局数 $X$」分类，$X$ 只能取 2、3、4、5，逐类列举符合条件的胜负序列。
3. 求期望：由分布列按定义 $E(X)=\sum k\cdot P(X=k)$ 计算。

✅【答案】

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(1) 甲在 4 局以内赢得比赛；(2)$X$ 的分布列与数学期望

✍【详细解析】

Abstract

记每局甲胜的概率 $p=\frac{2}{3}$，乙胜的概率 $q=\frac{1}{3}$。

(1) 甲在 4 局以内赢得比赛

• 第 2 局即获胜的唯一序列是「甲甲」，概率为 $p^2$；
• 第 3 局获胜的序列是「乙甲甲」，概率为 $q{p}^2$；
• 第 4 局获胜时，前 3 局不能出现连胜，且第 3、4 局必须为「甲甲」，所以序列只能是「甲乙甲甲」，概率为 $p^{3}q$。

所以甲在 4 局以内赢得比赛的概率为 $p^2+q{p}^2+p^{3}q=\frac{4}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}=\frac{56}{81}$

(2) $X$ 的分布列与数学期望

• $X=2$：前两局为同一方获胜，$P(X=2)=p^2+q^2=\frac{5}{9}$；
• $X=3$：前两局胜负不同而第 2、3 局相同，序列为「乙甲甲」或「甲乙乙」，$P(X=3)=q{p}^2+p{q}^2=\frac{2}{9}$；
• $X=4$：前 3 局没有连胜且第 3、4 局相同，序列为「甲乙甲甲」或「乙甲乙乙」，$P(X=4)=p^{3}q+p{q}^3=\frac{10}{81}$；
• $X=5$：前 4 局必须交替进行，前缀为「甲乙甲乙」或「乙甲乙甲」，第 5 局无论谁取胜都在第 5 局决出胜负，$P(X=5)=p^2{q}^2+q^2{p}^2=\frac{8}{81}$。

分布列为

$X$	2	3	4	5
$P$	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{8}{81}$

因此 $E(X)=2\times \frac{5}{9}+3\times \frac{2}{9}+4\times \frac{10}{81}+5\times \frac{8}{81}=\frac{224}{81}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验、分布列与数学期望。

2. 核心方法：按决出胜负的局数分类列举胜负序列，求概率后算期望。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项分布与比赛”提前结束”模型。

2. 结论推广: 先连胜两局者胜的比赛中，按局数分类可穷举序列。

3. 方法推广: 比赛类概率按终止局数分类列举，注意不重不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-20 解-独立事件概率
• 2013-福建卷理-16 解-相互独立事件
• 2013-大纲卷理-20 解-相互独立事件