2014-安徽卷理-19 解-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线系的几何性质。第一问通过建立坐标系，联立直线与抛物线方程求出交点坐标，利用向量共线证明直线平行；第二问利用第一问的位似比例关系，结合相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)）如图，已知两条抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x$ ( $p_{1} > 0$ ) 和 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ ( $p_{2} > 0$ )，过原点 $O$ 的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ， $l_{1}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $A_{1}, A_{2}$ 两点， $l_{2}$ 与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $B_{1}, B_{2}$ 两点.

(1) 证明： $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ ；

(2) 过原点 $O$ 作直线 $l$ （异于 $l_{1}, l_{2}$ ）与 $E_{1}, E_{2}$ 分别交于 $C_{1}, C_{2}$ 两点.记 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，求 $\frac{S _{1}}{S _{2}}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问分析：

设 $l_{1} : y = k_{1} x$ ， $l_{2} : y = k_{2} x$ 。

联立直线与抛物线方程，求出 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ 的坐标。

利用向量 $A_{1} B_{1}$ 与 $A_{2} B_{2}$ 的坐标关系，证明它们成比例，从而证得平行。

第二问分析：

由第一问可知，对于从原点出发的任意射线，其在两抛物线上的交点满足固定的位似比。

同理可证 $B_{1} C_{1} ∥ B_{2} C_{2}$ 且 $C_{1} A_{1} ∥ C_{2} A_{2}$ 。

判定 $△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，利用面积比等于位似比的平方求解。

✅【答案】

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$\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{p _{1}}{p _{2}})^{2} = \frac{p _{1}^{2}}{p _{2}^{2}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：

设直线 $l_{1}$ 的方程为 $y = k_{1} x$ ( $k_{1} \neq = 0$ )，直线 $l_{2}$ 的方程为 $y = k_{2} x$ ( $k_{2} \neq = 0$ )。

联立 ${y = k_{1} x y^{2} = 2 p_{1} x$ ，解得 $x_{A_{1}} = \frac{2 p _{1}}{k _{1}^{2}}$ ， $y_{A_{1}} = \frac{2 p _{1}}{k _{1}}$ ，即 $A_{1} (\frac{2 p _{1}}{k _{1}^{2}}, \frac{2 p _{1}}{k _{1}})$ 。

同理可得： $A_{2} (\frac{2 p _{2}}{k _{1}^{2}}, \frac{2 p _{2}}{k _{1}})$ ， $B_{1} (\frac{2 p _{1}}{k _{2}^{2}}, \frac{2 p _{1}}{k _{2}})$ ， $B_{2} (\frac{2 p _{2}}{k _{2}^{2}}, \frac{2 p _{2}}{k _{2}})$ 。

计算向量：

$A_{1} B_{1} = (2 p_{1} (\frac{1}{k _{2}^{2}} - \frac{1}{k _{1}^{2}}), 2 p_{1} (\frac{1}{k _{2}} - \frac{1}{k _{1}}))$

$A_{2} B_{2} = (2 p_{2} (\frac{1}{k _{2}^{2}} - \frac{1}{k _{1}^{2}}), 2 p_{2} (\frac{1}{k _{2}} - \frac{1}{k _{1}}))$

可知 $A_{1} B_{1} = \frac{p _{1}}{p _{2}} A_{2} B_{2}$ 。

由于向量共线且点不重合，故 $A_{1} B_{1} ∥ A_{2} B_{2}$ 。

(2) 解：

由(1)可知， $O A_{1} = \frac{p _{1}}{p _{2}} O A_{2}$ ， $O B_{1} = \frac{p _{1}}{p _{2}} O B_{2}$ 。

同理，对于直线 $l$ ，有 $O C_{1} = \frac{p _{1}}{p _{2}} O C_{2}$ 。

这意味着 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 是位似图形，原点 $O$ 为位似中心。

位似比 $k = \frac{∣ O A _{1} ∣}{∣ O A _{2} ∣} = \frac{p _{1}}{p _{2}}$ 。

由于相似三角形的面积比等于相似比的平方：

$\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{p _{1}}{p _{2}})^{2} = \frac{p _{1}^{2}}{p _{2}^{2}}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线系的性质与位似关系。

核心方法：联立直线与抛物线求交点，用向量成比例证平行；用位似比求面积比。

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 过原点的直线与抛物线交点、位似中心。

结论推广: $\frac{S _{1}}{S _{2}} = (\frac{p _{1}}{p _{2}})^{2}$ 。

方法推广: 同类型圆锥曲线系问题利用位似比与相似比平方。

🔗【关联脉络】

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2013-北京卷理-07 单-抛物线方程

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