2014-山东卷文-07 单-向量夹角

本题导读

$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{3+\sqrt{3}m}{2\sqrt{9+m^2}}$，平方解得 $m=\sqrt{3}$（代回验证成立），选 B。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 已知向量 $a=\left(1,\sqrt{3}\right)$，$b=(3,m)$. 若向量 $a$，$b$ 的夹角为 $\frac{\pi }{6}$，则实数 $m=$ ()

A. $2\sqrt{3}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. $-\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{3+\sqrt{3}m}{2\sqrt{9+m^2}}$，平方解得 $m=\sqrt{3}$（代回验证成立），选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$|a|=\sqrt{1+3}=2$，$a\cdot b=3+\sqrt{3}m$，$|b|=\sqrt{9+m^2}$。

由夹角公式：

$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{a\cdot b}{|a||b|}=\frac{3+\sqrt{3}m}{2\sqrt{9+m^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

即 $3+\sqrt{3}m=\sqrt{3}\sqrt{9+m^2}$。两边平方：$9+6\sqrt{3}m+3m^2=27+3m^2$，得 $m=\sqrt{3}$。

回代验证：$m=\sqrt{3}$ 时左边 $3+3=6$，右边 $\sqrt{3}\cdot \sqrt{12}=6$ ✓，且 $a\cdot b>0$ 与锐角 $\frac{\pi }{6}$ 一致。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数量积的夹角公式；方程两侧平方后的回代检验

2. 核心方法：列夹角方程 → 平方去根号 → 回代验证

3. 避坑指南：①平方可能引入增根（$a\cdot b$ 的符号会丢），解出 $m$ 后必须回代原式验证；②夹角 $\frac{\pi }{6}$ 为锐角要求 $a\cdot b>0$，$m=-\sqrt{3}$ 等负值可据此快速排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量夹角定参题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 15 题、新课标Ⅱ理第 3 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$ 含根号，平方求解后务必回代；锐角 ⟺ $a\cdot b>0$ 且 $\cos$ 为正。

3. 方法推广: 向量定参方程：写出夹角方程 → 平方化简 → 回代验根，两步都不能省。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘
• 2014-新课标II卷理-03 单-向量数量积