2011-湖北卷文-02 单-向量夹角

本题导读

本题考查向量的坐标运算，以及数量积与夹角。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 若向量 $\mathbf{a}=(1,2)$，$\mathbf{b}=(1,-1)$，则 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 的夹角等于 ()

A. $-\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{3\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：先算 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$
2. 步骤2：再用 $\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$

✅【答案】

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C$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

$2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2,4)+(1,-1)=(3,3)$，$\mathbf{a}-\mathbf{b}=(0,3)$。

数量积 $(3,3)\cdot (0,3)=9$；$|2\mathbf{a}+\mathbf{b}|=3\sqrt{2}$，$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=3$。

$\cos \theta =\frac{9}{3\sqrt{2}\times 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，夹角范围 $[0,\pi ]$ 内 $\theta =\frac{\pi }{4}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的线性组合；夹角公式

核心方法：坐标化后套夹角公式，分子点积、分母模之积

避坑指南：夹角的取值范围是 $[0,\pi ]$，不存在负角，选项 A 的 $-\frac{\pi }{4}$ 本身就不可能是”夹角”；$\mathbf{a}-\mathbf{b}=(0,3)$ 是竖直向量，与 $(3,3)$ 的夹角也可由方向直接看出为 $45^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量夹角题与 2014-山东卷文-07、2013-安徽卷文-13、2012-湖北卷文-13 同族。

结论推广：推广：$(x,x)$ 与 $(0,y)$（$x$，$y>0$）的夹角恒为 $45^{\circ }$；本题 $(3,3)$ 与 $(0,3)$ 正是此型。

方法推广：向量夹角小题：坐标齐备先算两个组合向量，再套公式；结果用方向草图快速自检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-07 单-向量夹角
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2012-湖北卷文-13 填-向量单位向量与夹角