2014-山东卷文-19 解-等差与交错和

本题导读

(1) $a_n=2n$；(2) $b_n=n(n+1)$，$T_{2m}=2m(m+1)=\frac{n(n+2)}{2}$，$T_{2m+1}=-\frac{(n+1{)}^2}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 在等差数列 $\{a_n\}$ 中，已知公差 $d=2$，$a_2$ 是 $a_1$ 与 $a_4$ 的等比中项.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$，记 $T_n=-b_1+b_2-b_3+b_4-\cdots +(-1{)}^n{b}_n$，求 $T_n$.

🔍【思路分析】

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(1) $a_n=2n$；(2) $b_n=n(n+1)$，$T_{2m}=2m(m+1)=\frac{n(n+2)}{2}$，$T_{2m+1}=-\frac{(n+1{)}^2}{2}$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n$ (2) $T_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n(n+2)}{2},& n\text{ 为偶数},\\ -\frac{(n+1{)}^2}{2},& n\text{ 为奇数}\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a_2=a_1+2$，$a_4=a_1+6$。等比中项：$a_2^2=a_1{a}_4$，

$(a_1+2{)}^2=a_1(a_1+6)⟹a_1^2+4a_1+4=a_1^2+6a_1⟹a_1=2$。

所以 $a_n=2+2(n-1)=2n$。

(2) $b_n=a_{\frac{n(n+1)}{2}}=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=n(n+1)$。

$n=2m$（偶）时成对结合：

$T_{2m}=\sum _{j=1}^m\left[-(2j-1)(2j)+(2j)(2j+1)\right]=\sum _{j=1}^{m}2j\left[-(2j-1)+(2j+1)\right]=\sum _{j=1}^{m}4j=2m(m+1)$。

$n=2m+1$（奇）时 $T_{2m+1}=T_{2m}-(2m+1)(2m+2)=2m(m+1)-2(m+1{)}^2=-2(m+1{)}^2$。

用 $n$ 表示：偶 $n$ 时 $T_n=\frac{n(n+2)}{2}$；奇 $n$ 时 $T_n=-\frac{(n+1{)}^2}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项；等比中项的定义；交错数列的并项求和

2. 核心方法：“等比中项 ⟹ $a_2^2=a_1{a}_4$“；交错和按 $(b_{2j}-b_{2j-1})$ 成对打包，分奇偶收尾

3. 避坑指南：①$b_n$ 的下标是 $\frac{n(n+1)}{2}$（三角形数），先代成 $b_n=n(n+1)$ 再求和，直接在 $a$ 上交错会乱；②奇偶两段都要写并换算回 $n$，漏掉奇数段或忘记 $T_{2m+1}=T_{2m}-b_{2m+1}$ 是主要失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列 + 交错求和常规解答题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 17 题、2014 年北京卷文第 15 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$(-1{)}^n{b}_n$ 型交错和优先并项：相邻两项相减若成简单等差/常数，就按奇偶分段给出 $T_n$。

3. 方法推广: 数列交错求和：先化简通项 → 试着算 $b_{2j}-b_{2j-1}$ → 能打包就分奇偶两段写答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关
• 2014-北京卷文-15 解-数列通项求和