2014-广东卷文-02 单-复数运算

本题导读

$z=\frac{25}{3-4i}$，分子分母同乘 $3+4i$。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 已知复数 $z$ 满足 $(3-4i)z=25$，则 $z=$ ()

A. $-3-4i$　　　　　B. $-3+4i$　　　　　C. $3-4i$　　　　　D. $3+4i$

🔍【思路分析】

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$z=25/(3-4i)$，利用 $|3-4i|=5$ 直接得 $z=3+4i$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$z=\frac{25}{3-4i}=\frac{25(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}=\frac{25(3+4i)}{25}=3+4i$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的四则运算

2. 核心方法：分母实数化

3. 避坑指南：$(3-4i)(3+4i)=3^2+4^2=25$ 恰好等于右端，可直接约分；验证 $z(3-4i)=(3+4i)(3-4i)=25$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数除法常规题，分母恰为模长平方时可用模长法速算。

2. 结论推广: $\frac{a}{c-di}$ 型统一乘共轭；模长法 $|z|=|a|/|c-di|$ 可先验算模。

3. 方法推广: 复数除法：乘共轭 → 实数化 → 约分，或用模长校验结果。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-02 单-复数的乘除运算
• 2014-大纲卷理-01 单-复数的除法运算