2014-广东卷文-10 单-复数新定义

本题导读

$w_1\ast w_2=w_1\overline{w_2}$：①②即共轭对加法的分配性（成立），③涉及”先共轭后共轭”的顺序（不成立），④不满足交换律。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 对任意复数 $w_1$，$w_2$，定义 $w_1\ast w_2=w_1\overline{w_2}$，其中 $\overline{w_2}$ 是 $w_2$ 的共轭复数.对任意复数 $z_1$，$z_2$，$z_3$ 有如下四个命题： ① $(z_1+z_2)\ast z_3=(z_1\ast z_3)+(z_2\ast z_3)$；② $z_1\ast (z_2+z_3)=(z_1\ast z_2)+(z_1\ast z_3)$； ③ $(z_1\ast z_2)\ast z_3=z_1\ast (z_2\ast z_3)$；④ $z_1\ast z_2=z_2\ast z_1$.则真命题的个数是()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

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①②验证共轭与加法的可分配性；③④举特例 $z_3=i$、$z_1=i$，$z_2=1$ 即可否定。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

① $(z_1+z_2)\ast z_3=(z_1+z_2)\overline{z_3}=z_1\overline{z_3}+z_2\overline{z_3}=(z_1\ast z_3)+(z_2\ast z_3)$，真。 ② $z_1\ast (z_2+z_3)=z_1\overline{(z_2+z_3)}=z_1(\overline{z_2}+\overline{z_3})=(z_1\ast z_2)+(z_1\ast z_3)$，真。 ③ $(z_1\ast z_2)\ast z_3=\left[z_1\overline{z_2}\right]\overline{z_3}=z_1\overline{z_2}\overline{z_3}$，而 $z_1\ast (z_2\ast z_3)=z_1\overline{z_2\overline{z_3}}=z_1\overline{z_2}{z}_3$。取 $z_3=i$（$z_1=1$，$z_2=1$）时两式分别为 $-i$ 与 $i$，不等，假。 ④ 取 $z_1=i$，$z_2=1$：$z_1\ast z_2=i$，$z_2\ast z_1=\overline{i}=-i$，不等，假。 真命题为 ①②，共 $2$ 个，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数新定义运算

2. 核心方法：按定义展开 + 特例否定

3. 避坑指南：③ 是运算顺序陷阱：$\ast$ 不满足结合律，因为”第二次共轭”会把已共轭的 $\overline{z_2}$ 再翻回去；④ 不满足交换律，一对共轭特例即可否定；验证恒等式时先按定义展开、再用特例排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 新定义运算题考查运算律对”共轭”这一非线性操作的适用性。

2. 结论推广: 推广：$w_1\ast w_2=w_1\overline{w_2}$ 满足对加法的双分配律，但 $(z_1\ast z_2)\ast z_3$ 与 $z_1\ast (z_2\ast z_3)$ 相差共轭因子，仅当 $z_3$ 为实数时相等。

3. 方法推广: 新定义运算律判断：展开比定义、找特殊值否定，分配律看”逐项共轭”，结合律看”共轭次数奇偶”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-02 单-复数的乘除与幂运算
• 2014-北京卷理-09 填-复数除法