2014-广东卷理-19 解-由前n项和求通项

本题导读

本题考查数列通项公式的求解。第一问通过递推关系直接计算前几项；第二问通过观察规律提出猜想，并使用数学归纳法进行严格证明。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_n=2n{a}_{n+1}-3n^2-4n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且 $S_3=15$.

(1) 求 $a_1,a_2,a_3$ 的值；

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用已知递推式，分别代入 $n=2$ 和 $n=1$。结合 $S_3=S_2+a_3$ 和 $S_2=S_1+a_2$（注意 $S_1=a_1$），建立关于 $a_1,a_2,a_3$ 的方程组求解。
2. 第二问：由第一问求得的项观察数列规律（等差数列），提出猜想 $a_n=2n+1$。随后利用数学归纳法，通过 $n=k$ 成立推导 $n=k+1$ 也成立，从而完成证明。

✅【答案】

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综上可知：$a_1=3,a_2=5,a_3=7$。；即当 $n=k+1$ 时，结论也成立

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $a_1,a_2,a_3$ 的值 当 $n=2$ 时，$S_2=2\times 2a_3-3\times 2^2-4\times 2=4a_3-20$。 因为 $S_3=S_2+a_3$，已知 $S_3=15$， 所以 $15=(4a_3-20)+a_3⟹5a_3=35⟹{\mathbf{a}}_3=7$。 此时 $S_2=4\times 7-20=8$。 当 $n=1$ 时，$S_1=2\times 1a_2-3\times 1^2-4\times 1=2a_2-7$。 因为 $S_2=S_1+a_2=8$， 所以 $(2a_2-7)+a_2=8⟹3a_2=15⟹{\mathbf{a}}_2=5$。 最后 $a_1=S_1=2\times 5-7=3$。 综上可知：$a_1=3,a_2=5,a_3=7$。

(2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 由(1)结论，猜想数列 $\{a_n\}$ 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，即 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=2n+1$。 下面用数学归纳法证明： ① 当 $n=1$ 时，$a_1=2(1)+1=3$，结论成立。 ② 假设当 $n=k$ ($k\ge 1,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 时结论成立，即 $a_k=2k+1$。 则前 $k$ 项和 $S_k=\frac{(a_1+a_k)k}{2}=\frac{(3+2k+1)k}{2}=k^2+2k$。 根据原递推式 $S_k=2k{a}_{k+1}-3k^2-4k$，代入 $S_k$ 得： $k^2+2k=2k{a}_{k+1}-3k^2-4k$ $2k{a}_{k+1}=4k^2+6k$ 由于 $k\ge 1$，两边同时除以 $2k$ 得： $a_{k+1}=2k+3=2(k+1)+1$ 即当 $n=k+1$ 时，结论也成立。 由 ①② 可知，对于任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，通项公式为 ${\mathbf{a}}_{\mathbf{n}}=2n+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由前 $n$ 项和递推求通项。

2. 核心方法：代入 $n=1,2$ 联立求前三项，猜想 $a_n=2n+1$ 并用数学归纳法证明。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: $S_n$ 与 $a_n$ 关系及数学归纳法。

2. 结论推广: 由递推观察规律猜想等差再归纳证明。

3. 方法推广: 求通项先算几项猜规律再用数学归纳法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-20 解-等差数列通项与前n项和
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式
• 2025-新高考II卷-07 单-等差前n项和