2014-新课标I卷文-11 单-线性规划

本题导读

$a>0$ 时最值在两边界交点取得，解得 $a=3$；$a<0$ 时目标函数无下界，矛盾舍去，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 设 $x$，$y$ 满足约束条件$\{\begin{array}{l}x+y\ge a,\\ x-y\le -1,\end{array}$且 $z=x+ay$ 的最小值为 $7$，则 $a=$ ()

A. $-5$　　　　　B. 3　　　　　C. $-5$ 或 3　　　　　D. 5 或 $-3$

🔍【思路分析】

破题导航

$a>0$ 时最值在两边界交点取得，解得 $a=3$；$a<0$ 时目标函数无下界，矛盾舍去，选 B。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

情形 1：$a>0$。 可行域为 $\{\begin{array}{l}y\ge a-x\\ y\ge x+1\end{array}$ 的上方区域，两边界交点为 $\left(\frac{a-1}{2},\frac{a+1}{2}\right)$。

$z=x+ay$ 沿方向 $(1,a)$ 增大，最小值在交点取得：$z_{\min }=\frac{a-1}{2}+a\cdot \frac{a+1}{2}=\frac{a^2+2a-1}{2}$。

令其等于 7：$a^2+2a-15=0$，$a=3$ 或 $a=-5$（舍负）。

情形 2：$a<0$。 目标方向 $(1,a)$ 与边界 $x+y=a$ 的外法向 $(1,1)$ 的内积 $1+a<0$，$z$ 沿该边界可无限减小，不存在最小值，与”最小值为 7”矛盾，舍。

综上 $a=3$。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数最值

2. 核心方法：含参约束分类讨论 + 顶点代入

3. 避坑指南：易漏 $a<0$ 的讨论：此时 $z=x+ay$ 在可行域内无下界，“最小值为 7”自动排除负值——选项 C 的”$-5$ 或 3”正是漏讨论设下的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含参线性规划回求参数（doc 考点定位：线性规划），2014 年新课标Ⅰ理第 9 题、2015 年新课标Ⅰ文第 15 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$a$ 同时出现在约束与目标里时必须分类：$a$ 的正负既改变最优顶点，也可能改变最值的存在性。

3. 方法推广: 线性规划含参题：先固定参数画区域，验证”最值存在且唯一”，再由最值反解参数并回检。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示
• 2015-新课标I卷文-15 填-线性规划