2014-新课标I卷文-12 单-三次函数零点

本题导读

$a<0$ 时 $f(0)=1$ 为极大值、$f\left(\frac{2}{a}\right)$ 为极小值；左侧无零点等价于极小值 $>0$，解得 $a<-2$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3-3x^2+1$，若 $f(x)$ 存在唯一的零点 $x_0$，且 $x_0>0$，则 $a$ 的取值范围为()

A. $(-\infty ,-2)$　　　　B. $(1,+\infty )$　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　D. $(-\infty ,-1)$

🔍【思路分析】

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$a<0$ 时 $f(0)=1$ 为极大值、$f\left(\frac{2}{a}\right)$ 为极小值；左侧无零点等价于极小值 $>0$，解得 $a<-2$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6x=3x(ax-2)$，极值点为 $x=0$ 与 $x=\frac{2}{a}$（$a\ne 0$）。

若 $a>0$：$f$ 在 $(-\infty ,0)$ 递增、$\left(0,\frac{2}{a}\right)$ 递减、$\left(\frac{2}{a},+\infty \right)$ 递增，$f(0)=1$ 为极大值。$x\to -\infty$ 时 $f\to -\infty$，左侧必有一个负零点，与”唯一”的要求不符（若恰有一负一正两个零点也不满足”唯一”）。故 $a>0$ 不行。

若 $a<0$：$f$ 在 $\left(-\infty ,\frac{2}{a}\right)$ 递减、$\left(\frac{2}{a},0\right)$ 递增、$(0,+\infty )$ 递减，$f(0)=1$ 为极大值，$x\to -\infty$ 时 $f\to +\infty$，$x\to +\infty$ 时 $f\to -\infty$。

要左侧（$x<0$）无零点，需极小值 $f\left(\frac{2}{a}\right)=1-\frac{4}{a^2}>0$，即 $a^2>4⟺a<-2$（$a=-2$ 时 $f(-1)=0$，出现负零点，取不到）。

此时 $f$ 从 $f(0)=1$ 递减到 $-\infty$，右侧恰有一个正零点。综上 $a<-2$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三次函数的图象与零点个数；利用导数研究函数形状

2. 核心方法：“极值符号定零点个数”图象法

3. 避坑指南：①$|a|=2$ 是临界：$a=-2$ 时极小值恰为 0，在 $x=-1$ 处产生负零点，故是开区间；②$a>0$ 时也可能只有一个零点，但它是负的，不满足 $x_0>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三次函数零点个数问题（doc 考点定位：导数、函数零点），与 2014 年新课标Ⅰ理第 11 题同卷同族（理考极值点位移）。

2. 结论推广: 一般地，三次函数的零点个数由两个极值的符号完全决定：极大、极小分居 $x$ 轴两侧 ⟹ 三个零点；极大极小同侧 ⟹ 一个零点。

3. 方法推广: 零点个数问题：求导 → 定单调区间与极值 → 画草图 → 让极值符号”卡”住零点个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.04 三次函数性质全总结
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-11 单-极值