2014-新课标I卷理-13 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理的应用。重点在于理解多项式乘法中的分配律，将所求项 $x^2{y}^7$ 拆解为前一个因式中的项与后一个二项展开式中对应项的乘积。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） $(x-y)(x+y{)}^8$ 的展开式中 $x^2{y}^7$ 的系数为 $\underline{}$.（用数字填写答案）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析乘法结构：将原式看作 $x(x+y{)}^8-y(x+y{)}^8$。
2. 寻找目标项：
   • 第一部分 $x(x+y{)}^8$ 中，若要产生 $x^2{y}^7$，需要 $(x+y{)}^8$ 展开式中提供 $x{y}^7$ 项。
   • 第二部分 $-y(x+y{)}^8$ 中，若要产生 $x^2{y}^7$，需要 $(x+y{)}^8$ 展开式中提供 $x^2{y}^6$ 项。
3. 利用通项公式：对于 $(a+b{)}^n$，通项为 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。分别计算上述两项的系数并求和。

✅【答案】

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$-20$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出 $(x+y{)}^8$ 的展开通项 $(x+y{)}^8$ 的展开式通项为： $T_{r+1}=C_8^r{x}^{8-r}{y}^r$

第二步：分析 $x^2{y}^7$ 的来源 根据分配律，展开式中的项由以下两部分构成：

1. 由 $x\cdot T_{r+1}$ 构成： 令 $x\cdot (C_8^r{x}^{8-r}{y}^r)=\text{常数}\cdot x^2{y}^7$。 则需 $y$ 的次数为 $7$，即 $r=7$。 此时该项为 $x\cdot (C_8^7{x}^1{y}^7)=C_8^7{x}^2{y}^7$。 系数为 $C_8^7=C_8^1=8$。

2. 由 $-y\cdot T_{r+1}$ 构成： 令 $-y\cdot (C_8^r{x}^{8-r}{y}^r)=\text{常数}\cdot x^2{y}^7$。 则需 $y$ 的最终次数为 $7$，即 $r+1=7⟹r=6$。 此时该项为 $-y\cdot (C_8^6{x}^2{y}^6)=-C_8^6{x}^2{y}^7$。 系数为 $-C_8^6=-C_8^2=-\frac{8\times 7}{2\times 1}=-28$。

第三步：计算总系数 将两部分系数相加： $8+(-28)=-20$

故答案为 $-20$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。 2. 易错提醒：注意多项式前面的负号。在本题中，$-y$ 的负号必须参与系数计算，否则会得出 $8+28=36$ 的错误结论。 3. 计算技巧：利用组合数的对称性 $C_n^r=C_n^{n-r}$ 可以简化高位组合数的计算。

2. 核心方法：将因式拆开，用通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 配次数。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 杨辉三角、二项式系数的和（$2^n$）、赋值法求系数和。

2. 结论推广: 对于 $(ax+b)(cx+d{)}^n$ 型展开式，某项 $x^k$ 的系数等于 $a\cdot (\text{后项 }{x}^{k-1}\text{ 的系数})+b\cdot (\text{后项 }{x}^k\text{ 的系数})$。

3. 方法推广: 面对更复杂的因式如 $(x^2+x-1)(x+1{)}^n$，同样采用这种“拆分寻找”的方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项