2014-新课标II卷文-03 单-充要条件

本题导读

极值点必使导数为零（可导时），但 $f^{\prime }(x_0)=0$ 未必是极值点（如 $x^3$ 在 $0$ 处），故 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） 函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处导数存在，若 $p$：$f^{\prime }(x_0)=0$；$q$：$x=x_0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则()

A. $p$ 是 $q$ 的充分必要条件

B. $p$ 是 $q$ 的充分条件，但不是 $q$ 的必要条件

C. $p$ 是 $q$ 的必要条件，但不是 $q$ 的充分条件

D. $p$ 既不是 $q$ 的充分条件，也不是 $q$ 的必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

极值点必使导数为零（可导时），但 $f^{\prime }(x_0)=0$ 未必是极值点（如 $x^3$ 在 $0$ 处），故 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，选 C。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

$q\Rightarrow p$：若 $x_0$ 是极值点，由极值定义，$f(x)$ 在 $x_0$ 附近两侧单调性相反；又 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，若 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$，则在 $x_0$ 附近 $f$ 保持同号增长趋势，与两侧单调性相反矛盾。故 $f^{\prime }(x_0)=0$，$q$ 推出 $p$。

$p\nRightarrow q$：反例 $f(x)=x^3$，$f^{\prime }(0)=0$，但 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，$x=0$ 不是极值点。

所以 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件；可导函数极值点的必要条件

2. 核心方法：“极值点 ⟹ 驻点”单向成立，用反例否定反向

3. 避坑指南：“导数为零”与”极值点”不能画等号：$y=x^3$ 在 $x=0$ 处导数为零但单调递增；判断充要条件务必双向验证并找反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 充要条件与极值概念结合题（doc 考点定位：常用逻辑、导数），与 2014 年新课标Ⅰ理第 14 题同卷考查逻辑推理。

2. 结论推广: 一般地，可导函数在 $x_0$ 取极值 $\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=0$，反向需附加”两侧变号”才成立。

3. 方法推广: 充要条件判断题：先写出两个命题的推出关系，再用定义或反例逐向检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-14 填-逻辑推理
• 2014-新课标I卷理-14 填-演绎推理与逻辑分析