2014-新课标II卷文-22 解-圆幂定理

本题导读

(1) 由 $P{A}^2=PB\cdot PC$ 得 $PA=PD$，等腰 + 外角 + 相似导角推出 $\angle BAD=\angle DAC$，即 $AD$ 平分 $\angle BAC$，故弧 $BE$ = 弧 $EC$；(2) 相交弦定理 $AD\cdot DE=BD\cdot DC$，而 $BD=PB$、$DC=2PB$，得 $AD\cdot DE=2P{B}^2$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） （选修 4-1：几何证明选讲）如图，$P$ 是 $\odot O$ 外一点，$PA$ 是切线，$A$ 为切点，割线 $PBC$ 与 $\odot O$ 相交于点 $B$，$C$，$PC=2PA$，$D$ 为 $PC$ 的中点，$AD$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $E$. 证明:

(1) $BE=EC$；

(2) $AD\cdot DE=2P{B}^2$.

🔍【思路分析】

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(1) 由 $P{A}^2=PB\cdot PC$ 得 $PA=PD$，等腰 + 外角 + 相似导角推出 $\angle BAD=\angle DAC$，即 $AD$ 平分 $\angle BAC$，故弧 $BE$ = 弧 $EC$；(2) 相交弦定理 $AD\cdot DE=BD\cdot DC$，而 $BD=PB$、$DC=2PB$，得 $AD\cdot DE=2P{B}^2$。

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 由切割线定理，$P{A}^2=PB\cdot PC$。又 $PC=2PA$，代入得 $P{A}^2=2PB\cdot PA$，故 $PA=2PB$。

于是 $PD=\frac{PC}{2}=PA$，$△PAD$ 为等腰三角形，$\angle PAD=\angle PDA$……①

$\angle PDA$ 是 $△ACD$ 在 $D$ 处的外角（$P$、$B$ 在射线 $CD$ 的反向延长线上），故 $\angle PDA=\angle DAC+\angle ACD$……②

又 $\angle PAD=\angle PAB+\angle BAD$（$B$ 在线段 $PD$ 上，射线 $AB$ 落在 $\angle PAD$ 内部）……③

由①②③：$\angle PAB+\angle BAD=\angle DAC+\angle ACD$。

另一方面，$P{A}^2=PB\cdot PC$ 给出 $\frac{PA}{PC}=\frac{PB}{PA}$，加上公共角 $\angle P$，得 $△PAB\sim △PCA$，故 $\angle PAB=\angle PCA=\angle ACD$……④（$B$、$D$ 同在 $PC$ 上，$\angle PCA$ 即 $\angle ACD$）

④代入上式，两边消去 $\angle ACD$（即 $\angle PAB$），得 $\angle BAD=\angle DAC$。

$D$ 在弦 $AE$ 上，射线 $AD$ 与 $AE$ 相同，故 $\angle BAE=\angle BAD=\angle DAC=\angle EAC$。等圆周角对等弧，弧 $BE$ = 弧 $EC$，所以 $BE=EC$。

(2) 弦 $AE$ 与弦 $BC$ 相交于点 $D$，由相交弦定理：$AD\cdot DE=BD\cdot DC$。

$BD=PD-PB=PA-PB=2PB-PB=PB$，$DC=PC-PD=2PA-PA=2PB$。

所以 $AD\cdot DE=PB\times 2PB=2P{B}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切割线定理；相似三角形；三角形外角定理；相交弦定理

2. 核心方法：“切线等积 → $PA=PD$ 等腰”导角；角平分 ⟹ 等弧；相交弦定理收尾

3. 避坑指南：①(1) 的关键是把 $\angle PDA$ 同时拆成外角式与"$\angle PAB+\angle BAD$"两份，再用 $\angle PAB=\angle ACD$ 消元——缺任何一份都推不动；②$BD$、$DC$ 都用 $PB$ 表达：$PD=PA=2PB$ 是全题的数量枢纽。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆幂定理综合证明题（doc 考点定位：几何证明选讲），与 2014 年新课标Ⅰ文第 22 题（圆内接四边形）同卷同章，2015 年新课标Ⅰ文第 22 题同族。

2. 结论推广: 一般地，“切线 + 割线 + $PC=kPA$“型题目：先用切割线定理把所有线段统一到 $PB$，中点条件再给出等腰三角形，导角路线自动展开。

3. 方法推广: 圆的证明题三板斧：切割线/相交弦定理算线段、相似三角形导角、等弧⟺等弦⟺等圆周角互译。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线
• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-22 解-圆内接四边形
• 2015-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲