2014-新课标II卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

(1) $f(x)\ge \left|a+\frac{1}{a}\right|=a+\frac{1}{a}\ge 2$；(2) $f(3)=3+\frac{1}{a}+|3-a|<5$ 分 $a\le 3$、$a>3$ 两段解，合并得 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(文)） （选修 4-5：不等式选讲）设函数 $f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a|$ $(a>0)$.

(1) 证明: $f(x)\ge 2$；

(2) 若 $f(3)<5$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) $f(x)\ge \left|a+\frac{1}{a}\right|=a+\frac{1}{a}\ge 2$；(2) $f(3)=3+\frac{1}{a}+|3-a|<5$ 分 $a\le 3$、$a>3$ 两段解，合并得 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。

✅【答案】

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(1) 见解析 (2) $a$ 的取值范围为 $\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由绝对值三角不等式：

$f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a|\ge \left|\left(x+\frac{1}{a}\right)-(x-a)\right|=\left|a+\frac{1}{a}\right|$。

$a>0$ 时 $a+\frac{1}{a}>0$，故 $f(x)\ge a+\frac{1}{a}\ge 2\sqrt{a\cdot \frac{1}{a}}=2$，当且仅当 $a=1$ 时取等。

(2) $a>0$ 时 $3+\frac{1}{a}>0$，$f(3)=3+\frac{1}{a}+|3-a|$。

当 $0<a\le 3$：$|3-a|=3-a$，$f(3)=6+\frac{1}{a}-a<5$，即 $a^2-a-1>0$，$a>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $a<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍）。结合 $a\le 3$：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}<a\le 3$。

当 $a>3$：$|3-a|=a-3$，$f(3)=a+\frac{1}{a}<5$，即 $a^2-5a+1<0$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。由 $\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0.21<3$，结合 $a>3$：$3<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。

两段合并：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}<a<\frac{5+\sqrt{21}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值三角不等式；基本不等式；含参绝对值不等式的求解

2. 核心方法："$|u|+|v|\ge |u-v|$"证最值；按绝对值内符号分段解不等式

3. 避坑指南：①(1) 中两处”凑”：绝对值内取差 $\left(x+\frac{1}{a}\right)-(x-a)$ 恰好消去 $x$；均值不等式取等要求 $a=1$；②(2) 分段边界 $a=3$ 归入哪段要一致，两段结果取并集时注意衔接处连续。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值不等式常规题（doc 考点定位：不等式选讲），与 2014 年新课标Ⅰ文第 24 题（基本不等式综合）同卷同章，2015 年新课标Ⅰ文第 24 题同族。

2. 结论推广: 一般地，$f(x)=|x-p|+|x-q|$ 的最小值恒为 $|p-q|$（几何意义：数轴上到两定点距离之和）；含参时最值随参数变化，“最值 < 常数”的解就是参数的二次不等式。

3. 方法推广: 绝对值不等式两板斧：证恒成立用三角不等式放缩；解含参不等式按绝对值零点分段，最后并集合并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-24 解-基本不等式
• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式