2014-新课标II卷理-02 单-复平面与对应点

本题导读

本题考查复数的几何意义及乘法运算。通过复平面内点关于虚轴对称的几何关系确定待求复数，再利用复数乘法法则进行计算。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 设复数 $z_1,z_2$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，$z_1=2+i$，则 $z_1{z}_2=$ ()

A. $-5$　　　　　　B. $5$　　　　　　C. $-4+i$　　　　　　D. $-4-i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解几何对称性：在复平面中，复数 $z=a+bi$ 对应的点坐标为 $(a,b)$。关于虚轴（$y$ 轴）对称的点坐标变为 $(-a,b)$，对应的复数为 $-a+bi$。
2. 确定 $z_2$：已知 $z_1=2+i$，根据对称性求出 $z_2$。
3. 执行乘法运算：利用复数乘法法则 $(a+bi)(c+di)$ 以及 $i^2=-1$ 计算 $z_1{z}_2$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据对称性求 $z_2$ 复数 $z_1=2+i$ 在复平面内对应的点为 $P_1(2,1)$。 点 $P_1(2,1)$ 关于虚轴（纵轴）对称的点为 $P_2(-2,1)$。 因此，复数 $z_2=-2+i$。

第二步：计算 $z_1{z}_2$ $z_1{z}_2=(2+i)(-2+i)$ 利用平方差公式或直接展开： $z_1{z}_2=(i+2)(i-2)=i^2-2^2$ 因为 $i^2=-1$，所以： $z_1{z}_2=-1-4=-5$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数与复平面内点的对应关系、复数乘法运算。

2. 核心方法：由关于虚轴对称求出 $z_2=-2+i$，再按复数乘法法则计算 $z_1{z}_2$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数的几何意义、共轭复数的对称性。

2. 结论推广: 复平面上关于实轴、虚轴、原点对称的点分别对应 $\bar{z}$、$-\bar{z}$、$-z$。

3. 方法推广: 涉及复平面的几何变换（平移、旋转、对称）时，先将复数转化为坐标点处理通常更直观。 3. 知识关联: 这种结合几何性质考查基础代数运算的模式，是高考复数小题的典型风格。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-03 单-复平面共轭