2014-新课标II卷理-04 单-三角形面积

本题导读

本题考查解三角形的综合应用。核心在于利用面积公式求出夹角的正弦值，随后针对夹角为锐角或钝角进行分类讨论，并结合“钝角三角形”这一前提条件排除不合题意的解。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 钝角三角形 $ABC$ 的面积是 $\frac{1}{2}$，$AB=1$，$BC=\sqrt{2}$，则 $AC=$ ()

A. $5$　　　　　　　B. $\sqrt{5}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 利用面积公式求 $\sin B$：已知两边及面积，利用 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 求出角 $B$ 的正弦值。
2. 确定 $\cos B$ 的可能值：根据 ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$，角 $B$ 可能为锐角或钝角。
3. 分情况讨论并利用余弦定理求 $AC$：
   • 若 $B$ 为钝角，直接计算 $AC$。
   • 若 $B$ 为锐角，计算 $AC$ 后需检查三角形是否仍为“钝角三角形”（即是否存在另一个角为钝角）。
4. 排除非法解：利用勾股定理逆定理或大边对大角原则进行检验。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $\sin B$ 设 $AB=c=1$，$BC=a=\sqrt{2}$。 由三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$ 得： $\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 1\times \sin B=\frac{1}{2}$ 解得：$\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由此可知 $B=45^{\circ }$ 或 $B=135^{\circ }$。

第二步：分类讨论 情况 ①：当 $B=135^{\circ }$ 时 此时 $B$ 是钝角，符合“钝角三角形”条件。 $\cos B=\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 根据余弦定理： $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot BC\cdot \cos B$ $A{C}^2=1^2+(\sqrt{2}{)}^2-2\times 1\times \sqrt{2}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $A{C}^2=1+2+2=5$ 所以 $AC=\sqrt{5}$。

情况 ②：当 $B=45^{\circ }$ 时 此时 $B$ 是锐角。 $\cos B=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 根据余弦定理： $A{C}^2=1^2+(\sqrt{2}{)}^2-2\times 1\times \sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$ $A{C}^2=1+2-2=1$ 所以 $AC=1$。 检验：此时三边长度分别为 $1,1,\sqrt{2}$。 因为 $1^2+1^2=(\sqrt{2}{)}^2$，根据勾股定理逆定理，该三角形为等腰直角三角形。 这与题目要求“钝角三角形”矛盾，故舍去。

结论：$AC=\sqrt{5}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角形面积公式与余弦定理的配合使用。 2. 易错提醒：很多考生求得 $\sin B$ 后容易忽略 $B$ 为锐角时，三角形可能在其他顶点（如 $A$ 或 $C$）处存在钝角。但在本题中，$AC=1$ 恰好构成了直角三角形。 3. 判定钝角三角形：若三边为 $a,b,c$，且 $c$ 为最大边，当 $a^2+b^2<c^2$ 时，该三角形为钝角三角形。

2. 核心方法：由面积公式求 $\sin B$，再对 $B$ 为锐角、钝角分类，用余弦定理求 $AC$ 并检验形状。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 大边对大角性质、正弦定理在判断三角形解的个数中的应用。

2. 结论推广: 已知两边及面积时夹角有两解，须结合钝角三角形等形状条件取舍。

3. 方法推广: 涉及三角形形状（锐角、直角、钝角）的题目，务必对三角函数值的正负符号保持敏感。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-04 单-解三角形面积
• 2013-福建卷文-21 解-解三角形面积最值
• 2026-新高考I卷-16 解-解三角形