2014-新课标II卷理-11 单-异面直线所成的角

本题导读

本题考查直三棱柱中异面直线所成角的计算。核心技巧在于通过平移将异面直线转化为相交直线，构造三角形并利用余弦定理求解；或通过建立空间直角坐标系利用向量夹角公式直接计算。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BCA=90^{\circ }$，$M,N$ 分别是 $A_1{B}_1,A_1{C}_1$ 的中点，$BC=CA=C{C}_1$，则 $BM$ 与 $AN$ 所成角的余弦值为 ()

A. $\frac{1}{10}$　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{30}}{10}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何分析：由直三棱柱且 $\angle BCA=90^{\circ }$ 知，$CA,CB,C{C}_1$ 两两垂直。设棱长 $BC=CA=C{C}_1=2$，方便计算。
2. 方法一：平移构造法
   • 寻找平移向量。取 $BC$ 的中点为 $O$，连接 $ON$。
   • 证明 $ON//BM$（或寻找其他平行关系）。
   • 将 $BM$ 与 $AN$ 的夹角转化为 $\angle ANO$ 或其补角。
   • 在 $△ANO$ 中计算三边长度，应用余弦定理。
3. 方法二：空间向量法（推荐）
   • 以 $C$ 为原点，$CB,CA,C{C}_1$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 写出各顶点及中点 $M,N$ 的坐标。
   • 求出向量 $\overrightarrow{BM}$ 和 $\overrightarrow{AN}$。
   • 利用公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{AN}|}$ 求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立空间直角坐标系


以 $C$ 为坐标原点，$CB,CA,C{C}_1$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴。 设 $BC=CA=C{C}_1=2$。 则各点坐标为： $A(0,2,0),B(2,0,0),C(0,0,0)$ $A_1(0,2,2),B_1(2,0,2),C_1(0,0,2)$

第二步：求中点 $M,N$ 坐标及相关向量 $M$ 是 $A_1{B}_1$ 的中点，则 $M=\frac{A_1+B_1}{2}=(1,1,2)$。 $N$ 是 $A_1{C}_1$ 的中点，则 $N=\frac{A_1+C_1}{2}=(0,1,2)$。

求出向量： $\overrightarrow{BM}=(1-2,1-0,2-0)=(-1,1,2)$ $\overrightarrow{AN}=(0-0,1-2,2-0)=(0,-1,2)$

第三步：计算模长与数量积 $|\overrightarrow{BM}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}$ $|\overrightarrow{AN}|=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+2^2}=\sqrt{5}$ $\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{AN}=(-1\times 0)+(1\times -1)+(2\times 2)=0-1+4=3$

第四步：计算夹角余弦值 设异面直线所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{AN}|}{|\overrightarrow{BM}|\cdot |\overrightarrow{AN}|}=\frac{3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{30}}$ 进行分母有理化： $\cos \theta =\frac{3\sqrt{30}}{30}=\frac{\sqrt{30}}{10}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线夹角的求法。 2. 方法优劣： - 几何法：需要较强的空间想象力和辅助线构造能力，计算量相对较小但容易找错角。 - 坐标法：逻辑简单、机械化程度高，只要坐标和计算不出错，准确率极高，是高考的首选方法。 3. 易错提醒：异面直线所成的角范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，因此余弦值必须为正。若向量夹角余弦算出负值，需取其绝对值。

2. 核心方法：建立空间直角坐标系，用方向向量夹角余弦公式求异面直线所成角。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 异面直线夹角的求法。 2. 方法优劣： - 几何法：需要较强的空间想象力和辅助线构造能力，计算量相对较小但容易找错角。 - 坐标法：逻辑简单、机械化程度高，只要坐标和计算不出错，准确率极高，是高考的首选方法。 3. 易错提醒：异面直线所成的角范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，因此余弦值必须为正。若向量夹角余弦算出负值，需取其绝对值。

2. 结论推广: 在直棱柱或正方体这类具有天然垂直基底的几何体中，建立空间直角坐标系是解决角度、距离问题的“万能钥匙”。

3. 方法推广: 面对“线线角”、“线面角”、“二面角”，均可统一转化为向量的夹角问题。 3. 知识关联: 异面直线所成的角与两异面直线方向向量夹角的关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-22 解-异面直线所成的角
• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角