2014-江苏卷-08 填-圆柱的侧面积

本题导读

本题考查圆柱的侧面积和体积公式。通过底面积之比确定半径之比，结合侧面积相等建立高与半径的反比关系，最后求解体积之比。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 $S_1,S_2$，体积分别为 $V_1,V_2$.若它们的侧面积相等，且 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{4}$，则 $\frac{V_1}{V_2}$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设基本量：设甲圆柱底面半径为 $R$，高为 $H$；乙圆柱底面半径为 $r$，高为 $h$。
2. 利用底面积比求半径比：由 $S=\pi r^2$ 可知 $\frac{R^2}{r^2}=\frac{S_1}{S_2}$，从而求出 $\frac{R}{r}$。
3. 利用侧面积比求高之比：由侧面积 $M=2\pi rh$ 相等，建立 $R,H,r,h$ 的等式，求出 $\frac{H}{h}$。
4. 计算体积比：利用体积公式 $V=S\cdot h=\pi r^{2}h$ 计算 $\frac{V_1}{V_2}$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求半径之比 设甲、乙两圆柱的底面半径分别为 $R,r$，高分别为 $H,h$。 由底面积之比 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{9}{4}$， 解得：$\frac{R}{r}=\frac{3}{2}$。

第二步：求高之比 已知甲、乙两圆柱的侧面积相等，即 $2\pi RH=2\pi rh$。 整理得：$\frac{H}{h}=\frac{r}{R}$。 将 $\frac{R}{r}=\frac{3}{2}$ 代入，得：$\frac{H}{h}=\frac{2}{3}$。

第三步：计算体积之比 根据圆柱体积公式 $V=S\cdot h$： $\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1\cdot H}{S_2\cdot h}=\frac{S_1}{S_2}\times \frac{H}{h}$ 代入已知数据： $\frac{V_1}{V_2}=\frac{9}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{3}{2}$

故答案为 $\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱的底面积 $S=\pi r^2$、侧面积 $M=2\pi rh$ 及体积 $V=\pi r^{2}h$。

2. 核心方法：比例性质法。在处理几何体比例问题时，利用基本量（半径、高）作为中介进行转换。

3. 避坑指南：注意侧面积相等意味着半径与高成反比，计算体积比时不要直接用底面积比乘以半径比，而应乘以高之比。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥、圆台的侧面积与体积公式。

2. 结论推广: 若两个圆柱侧面积相等，则体积之比等于底面半径之比（或底面周长之比）。证明：$\frac{V_1}{V_2}=\frac{\pi R^{2}H}{\pi r^{2}h}=\frac{(2\pi RH)\cdot \frac{R}{2}}{(2\pi rh)\cdot \frac{r}{2}}=\frac{R}{r}$。

3. 方法推广: 比例性质法。在处理几何体比例问题时，利用基本量（半径、高）作为中介进行转换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-22 解-椭圆面积比
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积