2011-四川卷文-15 填-内接圆柱侧面积最值

本题导读

本题考查球的内接圆柱，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 如图，半径为 $4$ 的球 $O$ 中有一内接圆柱. 当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设圆柱高 $2u$、底半径 $r$
2. 步骤2：$r^2+u^2=R^2$
3. 步骤3：侧面积 $S=4\pi ru\le 2\pi R^2$
4. 步骤4：最大时 $r=u$

✅【答案】

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$32\pi$

✍【详细解析】

Abstract

设圆柱底面半径为 $r$，高的一半为 $u$，则轴截面中 $r^2+u^2=R^2=16$。 圆柱侧面积 $S=2\pi r\cdot 2u=4\pi ru\le 2\pi \cdot \frac{r^2+u^2}{2}=2\pi \cdot 8=16\pi$？ 由基本不等式 $ru\le \frac{r^2+u^2}{2}=8$，故 $S=4\pi ru\le 32\pi$， 当且仅当 $r=u=2\sqrt{2}$ 时取等号，此时侧面积最大为 $32\pi$。 球的表面积为 $4\pi R^2=4\pi \times 16=64\pi$。 所求之差为 $64\pi -32\pi =32\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球内接旋转体的轴截面勾股关系；基本不等式 $ru\le \frac{r^2+u^2}{2}$；侧面积公式 $S=2\pi rh$。

核心方法：轴截面设元 → 勾股约束 → 均值不等式定最值 → 表面积作差。

避坑指南：侧面积公式中高是 $2u$ 不是 $u$，漏乘 2 会把最大值算成 $16\pi$；取等条件 $r=u=2\sqrt{2}$（圆柱高与直径相等，即圆柱为球的内接等边圆柱）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：球内接圆柱的最值问题是旋转体与不等式的小交汇，2012 上海卷文 05、2014 江苏卷 08 同练侧面积公式。

结论推广：内接等边圆柱时侧面积恰为球表面积的一半（$32\pi :64\pi =1:2$），这一比例对任意球半径都成立，可作为结论记忆。

方法推广：球内接圆柱统一在轴截面里处理：矩形内接于大圆，$r^2+u^2=R^2$；涉及乘积最值直接用 $ru\le \frac{r^2+u^2}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-05 填-圆柱的表面积
• 2014-江苏卷-08 填-圆柱的侧面积
• 2014-陕西卷文-05 单-旋转体侧面积