2014-江苏卷-10 填-二次函数

本题导读

本题考查开口向上的二次函数在闭区间内恒成立问题。核心在于利用二次函数的单调性或凸性，将区间内的恒成立问题转化为区间端点值的约束条件。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知函数 $f(x)=x^2+mx-1$，若对于任意 $x\in [m,m+1]$，都有 $f(x)<0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数特征：$f(x)=x^2+mx-1$ 是一个开口向上的抛物线。
2. 利用性质转化：对于开口向上的二次函数，其在闭区间 $[a,b]$ 上的最大值必在端点处取得。因此，要在该区间内恒有 $f(x)<0$，只需确保两个端点值都小于 $0$ 即可。
3. 列出不等式组：建立关于 $m$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l}f(m)<0\\ f(m+1)<0\end{array}$。
4. 求解范围：解不等式组并取交集。

✅【答案】

点击查看答案

$(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

✍【详细解析】

Abstract

因为二次函数 $f(x)=x^2+mx-1$ 的图象开口向上， 所以要使 $f(x)<0$ 在 $[m,m+1]$ 上恒成立， 只需： $\{\begin{array}{l}f(m)<0\\ f(m+1)<0\end{array}$

]

代入解析式：

1. 由 $f(m)<0$ 得： $m^2+m(m)-1<0⟹2m^2-1<0$ 解得：$-\frac{\sqrt{2}}{2}<m<\frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 由 $f(m+1)<0$ 得： $(m+1{)}^2+m(m+1)-1<0$ 展开整理： $(m^2+2m+1)+(m^2+m)-1<0$ $2m^2+3m<0$ $m(2m+3)<0$ 解得：$-\frac{3}{2}<m<0$。

综合取交集： 由 $\{\begin{array}{l}-\frac{\sqrt{2}}{2}<m<\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{3}{2}<m<0\end{array}$ 得到实数 $m$ 的取值范围是 $-\frac{\sqrt{2}}{2}<m<0$。

故答案为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数在给定区间上的最值特性。

2. 核心方法：端点法。开口向上的二次函数“小于零”恒成立看端点；“大于零”恒成立则需讨论对称轴与区间的关系或判别式。

3. 避坑指南：注意区间端点是含参数 $m$ 的，代入计算时不要出错；最后必须取两个不等式解集的公共部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二次方程根的分布、一元二次不等式解法。

2. 结论推广: 对于开口向上的二次函数 $g(x)$，在区间 $[p,q]$ 上 $g(x)<0⟺g(p)<0$ 且 $g(q)<0$。

3. 方法推广: 涉及含参区间或含参函数的恒成立问题，通常采用“参数分离”或“函数最值化”两种策略。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-20 解-二次函数零点
• 2014-北京卷文-08 单-二次函数模型
• 2013-浙江卷文-07 单-二次函数对称