2014-江苏卷-11 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义以及曲线切线与直线平行的位置关系。通过点在曲线上以及切线斜率等于导函数值这两个条件建立方程组，求解待定系数。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，若曲线 $y=a{x}^2+\frac{b}{x}$（$a,b$ 为常数）过点 $P(2,-5)$，且该曲线在点 $P$ 处的切线与直线 $7x+2y+3=0$ 平行，则 $a+b$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用点在曲线上：将点 $P(2,-5)$ 代入曲线方程，得到关于 $a,b$ 的第一个方程。
2. 利用切线平行条件：
   • 求出已知直线 $7x+2y+3=0$ 的斜率 $k$。
   • 对曲线方程求导，得到导函数 $y^{\prime }$。
   • 根据导数的几何意义，点 $P$ 处的切线斜率等于 $y^{\prime }{|}_{x=2}$。
   • 令 $y^{\prime }{|}_{x=2}=k$，得到关于 $a,b$ 的第二个方程。
3. 联立求解：解方程组求出 $a,b$ 的值，最后计算 $a+b$。

✅【答案】

点击查看答案

$-3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用点 $P$ 在曲线上 将 $P(2,-5)$ 代入 $y=a{x}^2+\frac{b}{x}$ 得： $-5=a(2^2)+\frac{b}{2}⟹4a+\frac{b}{2}=-5\text{—— (1)}$

第二步：利用导数的几何意义 对 $y=a{x}^2+b{x}^{-1}$ 求导： $y^{\prime }=2ax-\frac{b}{x^2}$ 已知直线 $7x+2y+3=0$ 可化为 $y=-\frac{7}{2}x-\frac{3}{2}$，其斜率为 $-\frac{7}{2}$。 因为曲线在点 $P$ 处的切线与该直线平行，所以切线斜率也为 $-\frac{7}{2}$。 即 $y^{\prime }{|}_{x=2}=-\frac{7}{2}$： $2a(2)-\frac{b}{2^2}=-\frac{7}{2}⟹4a-\frac{b}{4}=-\frac{7}{2}\text{—— (2)}$

第三步：联立方程组求解 由 ① - ② 得： $\left(4a+\frac{b}{2}\right)-\left(4a-\frac{b}{4}\right)=-5-\left(-\frac{7}{2}\right)$ $\frac{3b}{4}=-\frac{3}{2}⟹b=-2$ 将 $b=-2$ 代入 ① 得： $4a+\frac{-2}{2}=-5⟹4a-1=-5⟹4a=-4⟹a=-1$

第四步：计算结果 $a+b=-1+(-2)=-3$

故答案为 $-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率等于该点处的导数值 $f^{\prime }(x_0)$。

2. 核心方法：方程思想。此类题目通常根据几何关系（过点、平行、垂直）转化为代数方程组。

3. 避坑指南：求导时注意分式求导法则或幂函数求导法则（将 $\frac{b}{x}$ 看作 $b{x}^{-1}$）；解方程组时注意分数的计算，避免低级错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 切线方程的点斜式 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

2. 结论推广: 切线平行则斜率相等；垂直则斜率乘积为 $-1$。

3. 方法推广: 若题目改为“切线与直线垂直”，则满足 $k_{切}\cdot k_{已知}=-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-22 解-导数
• 2013-湖南卷文-01 单-复数几何意义
• 2013-江西卷文-01 单-复数几何意义