2014-江苏卷-22 解-分布列与期望

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望。第一问是古典概型的基础计算；第二问需要准确判断随机变量 $X$ 的所有可能取值，并通过分类讨论计算对应概率。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 盒中共有 $9$ 个球，其中有 $4$ 个红球，$3$ 个黄球和 $2$ 个绿球，这些球除颜色外完全相同.

(1) 从盒中一次随机取出 $2$ 个球，求取出的 $2$ 个球颜色相同的概率 $P$；

(2) 从盒中一次随机取出 $4$ 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为 $x_1,x_2,x_3$，随机变量 $X$ 表示 $x_1,x_2,x_3$ 中的最大数，求 $X$ 的概率分布和数学期望 $E(X)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：取出 2 球颜色相同，分为“2红”、“2黄”或“2绿”三种互斥情况。利用组合数 $C_n^k$ 分别计算后求和，再除以总的基本事件数 $C_9^2$。
2. 第二问：
   • 确定取值：取出 4 个球，三种颜色数量之和为 4。最大数 $X$ 最小为 $2$（若最大数为 1，则总数最多为 3，与取 4 个矛盾），最大为 $4$。故 $X\in \{2,3,4\}$。
   • 计算概率：
     • $X=4$：对应红球取 4 个的唯一情况。
     • $X=3$：对应某种颜色取 3 个，另一种颜色取 1 个。
     • $X=2$：利用对立事件 $1-P(X=4)-P(X=3)$ 求解更为简便。
   • 求期望：利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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故所求概率 $P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求取出 2 球颜色相同的概率 从 $9$ 个球中随机取出 $2$ 个球的基本事件总数为 $C_9^2=\frac{9\times 8}{2}=36$。 取出的 $2$ 个球颜色相同的情况有：

• 全是红球：$C_4^2=6$；
• 全是黄球：$C_3^2=3$；
• 全是绿球：$C_2^2=1$。 共有 $6+3+1=10$ 种可能。 故所求概率 $P=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$。

(2) 求 $X$ 的分布列与期望 $X$ 的所有可能取值为 $2,3,4$。 从 $9$ 个球中取出 $4$ 个球的总取法为 $C_9^4=\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}=126$。

• 当 $X=4$ 时，只能是红球取 4 个： $P(X=4)=\frac{C_4^4}{C_9^4}=\frac{1}{126}$；
• 当 $X=3$ 时，情况包括（3红1非红）或（3黄1非黄）： $P(X=3)=\frac{C_4^3{C}_5^1+C_3^3{C}_6^1}{C_9^4}=\frac{4\times 5+1\times 6}{126}=\frac{26}{126}=\frac{13}{63}$；
• 当 $X=2$ 时： $P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-\frac{26}{126}-\frac{1}{126}=\frac{99}{126}=\frac{11}{14}$。

$X$ 的概率分布列为：

$X$	$2$	$3$	$4$
$P$	$\frac{11}{14}$	$\frac{13}{63}$	$\frac{1}{126}$

数学期望： $E(X)=2\times \frac{11}{14}+3\times \frac{13}{63}+4\times \frac{1}{126}=\frac{198+78+4}{126}=\frac{280}{126}=\frac{20}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的组合计数、离散型随机变量分布列的性质（概率和为 1）。 2. 易错点：第二问中 $X$ 取值的判断，需注意绿球只有 2 个，因此 $X=3$ 时不可能由绿球贡献。 3. 方法总结：在计算复杂的分布列概率时，最后一个值的概率通常使用“1 减去其余概率之和”来求得，既快速又能起到校验作用。

2. 核心方法：分类讨论确定 $X$ 取值，用组合数求概率，末项用 $1$ 减去其余概率

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 古典概型的组合计数、离散型随机变量分布列的性质（概率和为 1）。 2. 易错点：第二问中 $X$ 取值的判断，需注意绿球只有 2 个，因此 $X=3$ 时不可能由绿球贡献。 3. 方法总结：在计算复杂的分布列概率时，最后一个值的概率通常使用“1 减去其余概率之和”来求得，既快速又能起到校验作用。

2. 结论推广: 取出的最大个数至少由各颜色数量上限决定的临界值。

3. 方法推广: 分布列末项概率用对立事件法简化计算

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-08 填-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-江西卷理-18 解-分布列