2026-上海卷-08 填-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列性质及其数学期望的计算。核心在于利用“全概率之和为 1”与“期望定义式”建立关于未知参数 $a,b$ 的二元一次方程组并进行求解。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）已知随机变量 $x$ 的分布列为：

$x$	-1	0	1
$P$	$a$	0.3	$b$

且 $E[x]=0.5$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 应用分布列性质：离散型随机变量的所有可能取值对应的概率之和恒等于 1，由此列出第一个方程 $a+0.3+b=1$。
2. 应用期望定义式：根据数学期望定义 $E[x]=\sum x_i{p}_i$，将其各项数值代入建立第二个方程 $(-1)\cdot a+0\cdot 0.3+1\cdot b=0.5$。
3. 联立方程组：求解该二元一次方程组，求出参数 $b$ 的值。

✅【答案】

点击查看答案

0.6

✍【详细解析】

Abstract

根据离散型随机变量分布列的性质，各事件的概率之和为 1，得： $a+0.3+b=1⟹a+b=0.7$ , ①

根据随机变量数学期望的定义 $E[x]=\sum x_i{p}_i$，已知 $E[x]=0.5$，得： $(-1)\times a+0\times 0.3+1\times b=0.5$ $-a+b=0.5$, ②

联立方程①与方程②组成方程组： $\{\begin{array}{l}a+b=0.7\\ -a+b=0.5\end{array}$ 将两式相加（① + ②）消去 $a$ 得： $2b=1.2⟹b=0.6$ (注：将 $b=0.6$ 代入①可得 $a=0.1$，均满足概率大于 0 且小于 1 的实际意义)

故答案为 0.6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分布列的性质（$\sum P_i=1$）；离散型随机变量数学期望的代数式展开。
2. 核心方法：二元一次方程组消元法。
3. 避坑指南：遗漏分布列隐藏性质。很多学生易盲目只关注期望公式，未联想到概率总和为 1 这一隐性限制，导致少一个方程而无法解出两个字母参数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考数学试卷中段填空题，重点考查概率与统计模块中对最基本数字特征（期望）的计算功底。
2. 结论推广：对于取值关于原点对称（即 $-x_0,0,x_0$）且对应的两端概率为 $a,b$ 的随机变量，其期望值 $E=x_0(b-a)$。利用这一对称分布性质，期望的大小完全取决于两端概率的“质量剪刀差”，能更直观地理解期望在物理上代表质心的几何含义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望