2014-江西卷理-02 单-函数定义域

本题导读

本题考查对数函数定义域的求法。核心在于根据对数函数的真数必须大于零这一性质，将其转化为求解一元二次不等式问题。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 函数 $f(x)=\ln (x^2-x)$ 的定义域为 ()

A. $(0,1)$　　B. $[0,1]$　　C. $(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$　　D. $(-\infty ,0]\cup [1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 明确定义域限制：对数函数 $y={\log }_{a}f(x)$ 要有意义，必须满足真数 $f(x)>0$。
2. 列出不等式：针对本题，令 $x^2-x>0$。
3. 解不等式：通过因式分解求出二次不等式的解集。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

要使函数 $f(x)=\ln (x^2-x)$ 有意义，需满足真数大于 $0$， 即：$x^2-x>0$。

对不等式左边进行因式分解： $x(x-1)>0$。

根据一元二次不等式的解法（口诀：大于在两边，小于在中间）： 由 $x(x-1)=0$ 得两根为 $x_1=0,x_2=1$。 因为不等号为“$>$”，所以解集在两根之外， 即 $x>1$ 或 $x<0$。

用区间形式表示为：$(-\infty ,0)\cup (1,+\infty )$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数真数大于零；一元二次不等式的标准解法。

2. 核心方法：转化思想。将复杂的函数问题转化为基础的不等式运算。

3. 避坑指南：注意对数真数的限制是严格大于（$>$），不包含等于（$=$）。因此选项 D 中的闭区间是错误的，必须选择 C 中的开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 指数函数定义域（$R$）、根式定义域（被开方数 $\ge 0$）、分式定义域（分母 $\ne 0$）。

2. 结论推广: 若函数为 $f(x)={\log }_a[g(x)]$，则定义域由 $g(x)>0$ 确定；若真数在分母或根号下，需叠加相应限制。

3. 方法推广: 求解此类问题时，数轴穿根法是判断二次及高次不等式符号最直观的方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-陕西卷理-01 单-函数定义域