2015-湖北卷文-06 单-函数定义域

本题导读

约分后真数 $(x^2-5x+6)/(x-3)=x-2$（$x\ne 3$），条件化为 $|x|\le 4$、$x>2$ 且 $x\ne 3$，得 $(2,3)\cup (3,4]$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 函数 $f(x)=\sqrt{4-|x|}+\lg \frac{x^2-5x+6}{x-3}$ 的定义域为 ()

A. $(2,3)$　　　B. $(2,4]$　　　C. $(2,3)\cup (3,4]$　　　D. $(-1,3)\cup (3,6]$

🔍【思路分析】

破题导航

约分后真数 $(x^2-5x+6)/(x-3)=x-2$（$x\ne 3$），条件化为 $|x|\le 4$、$x>2$ 且 $x\ne 3$，得 $(2,3)\cup (3,4]$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

要使 $f(x)$ 有意义，需

$\{\begin{array}{l}4-|x|\ge 0,\\ \frac{x^2-5x+6}{x-3}>0,\\ x-3\ne 0,\end{array}$

由第一式得 $|x|\le 4$，即 $-4\le x\le 4$。由第二式，当 $x\ne 3$ 时 $\frac{(x-2)(x-3)}{x-3}=x-2>0$，即 $x>2$。

取交集得 $2<x\le 4$ 且 $x\ne 3$，即 $(2,3)\cup (3,4]$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数定义域的求法（根式、对数、分式的综合限制）

核心方法：列限制条件组再取交集；真数先约分（保留 $x\ne 3$）再解

避坑指南：①约分前必须保留 $x\ne 3$，否则会误选 B；②真数条件是”大于零”不是”大于等于零”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：定义域小题中的”约分陷阱”经典题：分子分母有公因式 $(x-3)$，考查严谨性。

结论推广：一般地，$\lg \frac{g(x)}{h(x)}$ 型定义域 $=\{g(x)h(x)>0\}\cap \{h(x)\ne 0\}$，先解积的正负再除零。

方法推广：见分式对数先想”除零”，能约分但不能忘 $x\ne$ 分母零点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-7
• 2012-湖北卷理-07
• 2011-湖北卷理-02