2014-山东卷文-03 单-函数定义域

本题导读

分母中根号内必须严格大于零：${\log }_{2}x-1>0⟺x>2$，选 C。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{2}x-1}}$ 的定义域为()

A. $(0,2)$　　　　　B. $(0,2]$　　　　　C. $(2,+\infty )$　　　　　D. $[2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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分母中根号内必须严格大于零：${\log }_{2}x-1>0⟺x>2$，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

两层约束：①对数真数 $x>0$；②分母的根式被开方数 ${\log }_{2}x-1>0$（在分母中，必须严格大于零，等于零也不行）。

${\log }_{2}x>1⟺x>2$（底数 $2>1$，单调递增）。

$x>2$ 已蕴含 $x>0$。所以定义域为 $(2,+\infty )$。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数定义域；对数函数的单调性

2. 核心方法：“分母 + 根号 + 对数”三层约束逐层列出

3. 避坑指南：①根式在分母中，被开方数要严格大于零——${\log }_{2}x-1=0$（即 $x=2$）取不到，选项 D 是漏掉这一层的陷阱；②${\log }_{2}x>1$ 的解是 $x>2$，不是 $x>\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 定义域基础题，与 2014 年山东卷理第 3 题（同型）、1978 年全国卷第 1(3) 题同章。

2. 结论推广: 一般地，定义域约束”真数 > 0、被开方数 ≥ 0（在分母则 > 0）、分母 ≠ 0”逐条列出后取交。

3. 方法推广: 求定义域：把所有约束写成不等式组，逐条解出再取交集，最后检查”≥“与”>“的差别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-03 单-函数定义域
• 1978-全国卷-01(3)