2013-陕西卷理-01 单-函数定义域

本题导读

本题考查函数的概念，以及函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2013年陕西卷(理)） 设全集为 $\mathbb{R}$，函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 的定义域为 $M$，则 ${\complement }_{\mathbb{R}}M$ 为()

A. $[-1,1]$　B. $(-1,1)$　C. $(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$　D. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 求定义域 $M$：根据算术平方根的定义，被开方数必须大于等于 $0$。列出不等式 $1-x^2\ge 0$ 并求解。
2. 求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}M$：在实数集 $\mathbb{R}$ 中除去集合 $M$ 的部分。注意补集运算中区间端点的开闭变化（原集合含端点，补集则不含）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定集合 $M$ 要使函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ 有意义，需满足： $1-x^2\ge 0$ 即 $x^2\le 1$，解得： $-1\le x\le 1$ 所以，定义域 $M=\{x|-1\le x\le 1\}$，用区间表示为 $[-1,1]$。

第二步：求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}M$ 全集 $U=\mathbb{R}$。集合 $M$ 包含了端点 $-1$ 和 $1$。 根据补集的定义，${\complement }_{\mathbb{R}}M$ 是指所有不属于 $M$ 的实数，即： $x<-1\text{或}x>1$ 用区间及并集符号表示为： $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：根式函数定义域的限制条件（$f(x)=\sqrt{g(x)}⟹g(x)\ge 0$）；一元二次不等式的基本解法。

核心方法：补集运算的“取反”原则。特别注意端点：若原集合 $M$ 为“闭”，则补集为“开”；反之亦然。

避坑指南：- 误解一元二次不等式，错解为 $x\le \pm 1$（应表达为区间或连不等式）。 - 补集运算时忘记变端点开闭，误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式函数定义域（分母不为 0）、对数函数定义域（真数大于 0）。

结论推广：对于集合 $A=[a,b]$，在 $\mathbb{R}$ 下的补集恒为 $(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )$。

方法推广：数轴法。在数轴上画出集合 $M$，剩下的“空白”部分即为补集，一目了然。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-06 单-函数定义域
• 2014-山东卷文-03 单-函数定义域
• 2013-广东卷文-02 单-函数定义域