2014-江西卷理-14 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于建立“切点处的导数值等于切线斜率”这一等量关系，通过平行直线的斜率特征求出切点坐标。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 若曲线 $y=e^{-x}$ 上点 $P$ 处的切线平行于直线 $2x+y+1=0$，则点 $P$ 的坐标是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定切线斜率：已知切线与直线 $2x+y+1=0$ 平行，则切线斜率 $k$ 等于该直线的斜率。
2. 求导函数：对曲线方程 $y=e^{-x}$ 求导，利用复合函数求导法则。
3. 建立方程：令导函数 $y^{\prime }$ 在点 $P$ 处的值等于斜率 $k$，解出点 $P$ 的横坐标。
4. 求纵坐标：将横坐标代入原曲线方程。

✅【答案】

点击查看答案

$(-\ln 2,2)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求切线斜率 $k$ 直线 $2x+y+1=0$ 可化为斜截式 $y=-2x-1$，其斜率为 $-2$。 由于切线与之平行，故切线斜率 $k=-2$。

第二步：对曲线求导 曲线方程为 $y=e^{-x}$。 根据复合函数求导法则，其导函数为： $y^{\prime }=(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-x{)}^{\prime }=-e^{-x}$

第三步：求解切点 $P$ 的坐标 设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$。 根据导数的几何意义，点 $P$ 处的切线斜率等于该点处的导数值： $-e^{-x_0}=-2$ $e^{-x_0}=2$ 两边取自然对数得： $-x_0=\ln 2⟹x_0=-\ln 2$

将 $x_0=-\ln 2$ 代入原方程 $y=e^{-x}$： $y_0=e^{-(-\ln 2)}=e^{\ln 2}=2$

所以点 $P$ 的坐标为 $(-\ln 2,2)$。

【答案】 $(-\ln 2,2)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数在某点处的导数值即为该点处切线的斜率 $f^{\prime }(x_0)=k$。

2. 核心方法：导数法。处理“切线平行/垂直”类问题，统一转化为斜率关系。

3. 避坑指南：复合函数求导时不要漏掉系数（$-1$）；指数式与对数式的互化要熟练。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 隐函数求导、切线方程的完整写法（点斜式）。

2. 结论推广: 若切线垂直于直线 $Ax+By+C=0$，则斜率 $k=B/A$。

3. 方法推广: 寻找曲线上距离已知直线最近的点，该点即为斜率相等的切点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-22 解-导数
• 2013-湖南卷文-01 单-复数几何意义
• 2013-江西卷文-01 单-复数几何意义