2014-江西卷理-17 解-两角和差公式

本题导读

本题考查三角函数的恒等变形及性质。第一问要求在给定参数下通过恒等变换化简函数并求最值；第二问通过已知函数值建立方程组，考查三角方程的解法及参数范围的限定。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin (x+\theta )+a\cos (x+2\theta )$，其中 $a\in \mathbb{R}$，$\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

(1) 当 $a=\sqrt{2}$，$\theta =\frac{\pi }{4}$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $[0,\pi ]$ 上的最大值与最小值；

(2) 若 $f(\frac{\pi }{2})=0$，$f(\pi )=1$，求 $a,\theta$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：代入参数 $a,\theta$，利用两角和的正弦、余弦公式展开，化简为单一三角函数形式（如 $A\sin (\omega x+\varphi )$），再结合 $x$ 的范围确定整体角度范围，求出最值。
2. 第二问：将 $x=\frac{\pi }{2}$ 和 $x=\pi$ 代入原式，利用诱导公式 $\sin (\frac{\pi }{2}+\theta )=\cos \theta$，$\cos (\frac{\pi }{2}+2\theta )=-\sin 2\theta$ 等简化方程。联立关于 $a$ 和 $\theta$ 的方程组，结合 $\theta$ 的范围求出精确解。

✅【答案】

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$\theta =-\frac{\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 当 $a=\sqrt{2}$，$\theta =\frac{\pi }{4}$ 时， $f(x)=\sin (x+\frac{\pi }{4})+\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi }{2})$ 利用两角和公式及诱导公式 $\cos (x+\frac{\pi }{2})=-\sin x$： $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x$ $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x$ $f(x)=\sin (\frac{\pi }{4}-x)$

因为 $x\in [0,\pi ]$，所以 $\frac{\pi }{4}-x\in [-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$。 ] 结合正弦函数 $y=\sin t$ 在该区间上的表现：

• 当 $\frac{\pi }{4}-x=\frac{\pi }{4}$（即 $x=0$）时，$f(x)$ 取得最大值 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
• 当 $\frac{\pi }{4}-x=-\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{3\pi }{4}$）时，$f(x)$ 取得最小值 $\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$。

(2) 解： 由 $f(\frac{\pi }{2})=0,f(\pi )=1$ 得： $\{\begin{array}{l}\sin (\frac{\pi }{2}+\theta )+a\cos (\frac{\pi }{2}+2\theta )=0\\ \sin (\pi +\theta )+a\cos (\pi +2\theta )=1\end{array}$ 利用诱导公式化简： $\{\begin{array}{l}\cos \theta -a\sin 2\theta =0⟹\cos \theta -2a\sin \theta \cos \theta =0\\ -\sin \theta -a\cos 2\theta =1⟹-\sin \theta -a(1-2{\sin }^2\theta )=1\end{array}$

由第一式得 $\cos \theta (1-2a\sin \theta )=0$。 因为 $\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，所以 $\cos \theta \ne 0$。 故 $1-2a\sin \theta =0⟹a=\frac{1}{2\sin \theta }$。

代入第二式： $-\sin \theta -\frac{1}{2\sin \theta }(1-2{\sin }^2\theta )=1$ $-\sin \theta -\frac{1}{2\sin \theta }+\sin \theta =1$ $-\frac{1}{2\sin \theta }=1⟹\sin \theta =-\frac{1}{2}$。

由于 $\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$，解得 $\theta =-\frac{\pi }{6}$。 将 $\sin \theta =-\frac{1}{2}$ 代入 $a=\frac{1}{2\sin \theta }$ 得： $a=\frac{1}{2\times (-1/2)}=-1$。

综上所述，$a=-1,\theta =-\frac{\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 的逆向运用与诱导公式的准确记忆。

2. 核心方法：方程组法。在解三角方程组时，优先考虑“因式分解法”提取公因式（如 $\cos \theta$），并利用给定的角度区间排除不合理的解。

3. 避坑指南：注意 $\cos 2\theta$ 的二倍角公式有三种形式，在第二问中，为了与 $\sin \theta$ 统一变量，应选用 $1-2{\sin }^2\theta$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二倍角公式、辅助角公式、正弦函数图像。

2. 结论推广: 三角最值问题通常先化为 $y=A\sin (\omega x+\varphi )+k$ 形式，再利用整体思想求解。

3. 方法推广: 面对参数方程组，消元法（消去 $a$ 或 $\sin \theta$）是通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-17 解-两角和差公式
• 2013-江西卷理-16 解-两角和与差的公式
• 2013-新课标II卷理-15 填-两角和的正切公式