2014-浙江卷理-05 单-二项展开式的通项

本题导读

本题考查二项式展开式中项的系数。通过定义多项式乘积展开式中特定项的系数，巧妙地将四个系数之和转化为一个整体二项式展开式中特定幂次的系数，考查学生对二项式定理本质的理解和灵活运用。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)）在 $(1 + x)^{6} (1 + y)^{4}$ 的展开式中，记 $x^{m} y^{n}$ 项的系数为 $f (m, n)$ ，则 $f (3, 0) + f (2, 1) + f (1, 2) + f (0, 3) =$ ()

A. 45　　　　　　B. 60　　　　　　C. 120　　　　　　D. 210

🔍【思路分析】

破题导航

理解系数含义： $f (m, n)$ 是 $(1 + x)^{6}$ 中 $x^{m}$ 项的系数 $C_{6}^{m}$ 与 $(1 + y)^{4}$ 中 $y^{n}$ 项的系数 $C_{4}^{n}$ 的乘积。

巧妙转化：观察待求式中 $m + n$ 的特征。发现 $3 + 0 = 3, 2 + 1 = 3, 1 + 2 = 3, 0 + 3 = 3$ 。这提示我们可以令 $x = y$ 。

建立等价模型：当 $x = y$ 时，原式变为 $(1 + x)^{6} (1 + x)^{4} = (1 + x)^{10}$ 。此时， $f (3, 0), f (2, 1), f (1, 2), f (0, 3)$ 分别对应 $(1 + x)^{10}$ 展开式中所有 $x^{3}$ 项的不同组合系数。

求解：只需计算 $(1 + x)^{10}$ 展开式中 $x^{3}$ 项的系数 $C_{10}^{3}$ 即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析各项系数

根据二项式定理：

$(1 + x)^{6} = \sum_{m = 0}^{6} C_{6}^{m} x^{m}$

$(1 + y)^{4} = \sum_{n = 0}^{4} C_{4}^{n} y^{n}$

则 $(1 + x)^{6} (1 + y)^{4}$ 展开式中 $x^{m} y^{n}$ 的系数 $f (m, n) = C_{6}^{m} \cdot C_{4}^{n}$ 。

第二步：转化求和式

待求式为：

$S = C_{6}^{3} C_{4}^{0} + C_{6}^{2} C_{4}^{1} + C_{6}^{1} C_{4}^{2} + C_{6}^{0} C_{4}^{3}$

第三步：利用构造思想求解

令 $x = y$ ，则 $(1 + x)^{6} (1 + y)^{4} = (1 + x)^{10}$ 。

在 $(1 + x)^{10}$ 的展开式中， $x^{3}$ 项的系数为 $C_{10}^{3}$ 。

而根据多项式乘法， $(1 + x)^{6}$ 与 $(1 + x)^{4}$ 乘积中产生 $x^{3}$ 的方式有四种：

从 $(1 + x)^{6}$ 取 $x^{3}$ ，从 $(1 + x)^{4}$ 取 $1$ ；系数为 $C_{6}^{3} C_{4}^{0} = f (3, 0)$ 。

从 $(1 + x)^{6}$ 取 $x^{2}$ ，从 $(1 + x)^{4}$ 取 $x^{1}$ ；系数为 $C_{6}^{2} C_{4}^{1} = f (2, 1)$ 。

从 $(1 + x)^{6}$ 取 $x^{1}$ ，从 $(1 + x)^{4}$ 取 $x^{2}$ ；系数为 $C_{6}^{1} C_{4}^{2} = f (1, 2)$ 。

从 $(1 + x)^{6}$ 取 $1$ ，从 $(1 + x)^{4}$ 取 $x^{3}$ ；系数为 $C_{6}^{0} C_{4}^{3} = f (0, 3)$ 。

故 $f (3, 0) + f (2, 1) + f (1, 2) + f (0, 3) = C_{10}^{3}$ 。

第四步：数值计算

$C_{10}^{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：范德蒙恒等式（Vandermonde’s Identity）的特殊应用，即 $\sum_{k = 0}^{r} C_{n}^{k} C_{m}^{r - k} = C_{n + m}^{r}$ 。

核心方法：赋值法。当题目中出现多个变量的组合系数求和，且下标之和为定值时，令变量相等转化为单一二项式是最高效的方法。

避坑指南：虽然可以通过直接计算四个组合数再相加得出结果（ $20 \times 1 + 15 \times 4 + 6 \times 6 + 1 \times 4 = 20 + 60 + 36 + 4 = 120$ ），但在考试中这种“硬算”效率较低，且下标更大时容易出错，掌握转化思想更重要。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 杨辉三角、二项式系数的最大值。

结论推广: $\sum_{i + j = k} f (i, j)$ 是 $(1 + x)^{n + m}$ 中 $x^{k}$ 项的系数。

方法推广: 面对二项式系数求和问题，常见的处理手段包括：赋值法（取 $1, - 1, i$ 等）、导数法、积分法以及利用组合意义转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

22.03 二项式定理全总结

22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

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2013-浙江卷理-11 填-二项式通项

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