2014-四川卷理-02 单-二项式展开式指定项

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式。被乘式 $x(1+x{)}^6$ 相当于在 $(1+x{)}^6$ 的每一项上再乘一个 $x$，把 $(1+x{)}^6$ 含 $x^2$ 项的系数取出即得所求系数。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(理)） 在 $x(1+x{)}^6$ 的展开式中，含 $x^3$ 项的系数为()

A. $30$　　　　　　　B. $20$　　　　　　　C. $15$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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1. 写出通项：$(1+x{)}^6$ 的展开式的第 $k+1$ 项为 ${\mathrm{C}}_6^k{x}^k$。
2. 乘上因子 $x$：$x\cdot {\mathrm{C}}_6^k{x}^k={\mathrm{C}}_6^k{x}^{k+1}$，即整个展开式中 $x^{k+1}$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_6^k$。
3. 定次数：令 $k+1=3$ 求 $k$，再算组合数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出 $(1+x{)}^6$ 的通项 $(1+x{)}^6={\sum }_{k=0}^6{\mathrm{C}}_6^k{x}^k$ 其中含 $x^k$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_6^k$。

第二步：乘上因子 $x$ 后定次数 $x(1+x{)}^6={\sum }_{k=0}^6{\mathrm{C}}_6^k{x}^{k+1}$ 要出现 $x^3$，需 $k+1=3$，即 $k=2$。

第三步：求系数 含 $x^3$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_6^2=\frac{6\times 5}{2\times 1}=15$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式的通项公式，以及“项的系数”与“二项式系数”的区别。

2. 核心方法：先写出通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，再把“带因子”“带系数”的部分一并乘进去，最后通过次数条件定 $k$。

3. 避坑指南：本题乘在括号外的是 $x$，不是常数，务必把因子 $x$ 乘进通项后再定次数；不要把“含 $x^3$ 的项的系数”与“二项式系数”${\mathrm{C}}_6^3$ 混为一谈。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理的基本应用，是考查通项公式与组合数计算的常规题。

2. 结论推广: 对 $x^m(1+x{)}^n$ 的展开式，含 $x^t$ 项的系数为 ${\mathrm{C}}_n^{t-m}$（$0\le t-m\le n$）；更一般地，$(a+bx{)}^m(c+dx{)}^n$ 的指定项系数可用“分别取次、相乘求和”的方法处理。

3. 方法推广: 求多项乘积中指定项的系数，通用做法是“固定一个因式的次数，反推其余因式的次数，最后求和”，避免把括号整体展开。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-05 单-二项展开式的通项
• 2014-大纲卷理-13 填-二项式展开式通项
• 2013-上海卷理-05 填-二项式通项