2014-浙江卷理-09 单-数学期望

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望。通过模拟从乙盒向甲盒转移小球的过程，计算转移后甲盒取球概率及红球个数的期望，侧重考查分类讨论思想及代数运算能力。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球，乙盒中有 $m$ 个红球和 $n$ 个蓝球 ($m\ge 3,n\ge 3$).从乙盒中随机抽取 $i$ ($i=1,2$) 个球放入甲盒中.

(a) 放入 $i$ 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ${\xi }_i$ ($i=1,2$)；

(b) 放入 $i$ 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 $p_i$ ($i=1,2$).

则()

A. $p_1>p_2,E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$　　　　　　　B. $p_1<p_2,E({\xi }_1)>E({\xi }_2)$

C. $p_1>p_2,E({\xi }_1)>E({\xi }_2)$　　　　　　　D. $p_1<p_2,E({\xi }_1)<E({\xi }_2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 特殊值法（推荐）：令 $m=3,n=3$。分别计算 $i=1$ 和 $i=2$ 时的概率和期望值，通过数值大小直接判定选项。
2. 常规解析法：
   • 计算 $p_1,p_2$：利用全概率公式。例如 $p_1=P(\text{放入红球})\cdot P(\text{取红}|\text{放红})+P(\text{放入蓝球})\cdot P(\text{取红}|\text{放蓝})$。
   • 计算 $E({\xi }_1),E({\xi }_2)$：求出随机变量 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 的分布列，根据期望定义公式计算并作差比较。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $p_1$ 与 $p_2$

• 对于 $p_1$：放入 1 个球后甲盒共 2 球。 $p_1=\frac{m}{m+n}\cdot \frac{2}{2}+\frac{n}{m+n}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2m+n}{2(m+n)}$。
• 对于 $p_2$：放入 2 个球后甲盒共 3 球。 $p_2=\frac{C_m^2}{C_{m+n}^2}\cdot \frac{3}{3}+\frac{C_m^1{C}_n^1}{C_{m+n}^2}\cdot \frac{2}{3}+\frac{C_n^2}{C_{m+n}^2}\cdot \frac{1}{3}$。 经计算并化简得 $p_1-p_2=\frac{5mn+n(n-1)}{6(m+n)(m+n-1)}>0$，故 $p_1>p_2$。

第二步：计算 $E({\xi }_1)$ 与 $E({\xi }_2)$

• 对于 ${\xi }_1$（红球个数）： $P({\xi }_1=1)=\frac{n}{m+n},P({\xi }_1=2)=\frac{m}{m+n}$。 $E({\xi }_1)=1\cdot \frac{n}{m+n}+2\cdot \frac{m}{m+n}=\frac{2m+n}{m+n}$。
• 对于 ${\xi }_2$： $P({\xi }_2=1)=\frac{C_n^2}{C_{m+n}^2},P({\xi }_2=2)=\frac{C_m^1{C}_n^1}{C_{m+n}^2},P({\xi }_2=3)=\frac{C_m^2}{C_{m+n}^2}$。 $E({\xi }_2)=1\cdot \frac{n(n-1)}{(m+n)(m+n-1)}+2\cdot \frac{2mn}{(m+n)(m+n-1)}+3\cdot \frac{m(m-1)}{(m+n)(m+n-1)}$。 化简得 $E({\xi }_2)=\frac{3m^2+n^2-3m-n+4mn}{(m+n)(m+n-1)}$。

第三步：比较期望大小 作差 $E({\xi }_2)-E({\xi }_1)=\frac{m(m-1)+mn}{(m+n)(m+n-1)}>0$，故 $E({\xi }_2)>E({\xi }_1)$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量的分布列与数学期望

2. 核心方法：特殊值法简化字母运算，结合期望的物理意义比较大小。

3. 避坑指南：期望的比较可以从物理意义理解：放入的小球越多，甲盒中红球个数的期望自然越大，即 $E({\xi }_2)>E({\xi }_1)$ 直观成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项分布期望、超几何分布期望、条件概率。

2. 结论推广: 在此类转移球模型中，抽取概率 $p_i$ 往往随着加入球总数的增加而向乙盒原始红球比例靠拢。

3. 方法推广: 概率大题中，全概率公式和期望的线性性质是处理动态过程的有力工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望
• 2026-新高考I卷-08 单-期望
• 2025-上海卷-06 填-期望