2014-浙江卷理-12 填-分布列的性质

本题导读

本题考查离散型随机变量分布列的性质以及期望与方差的计算。核心在于利用概率之和为 1 以及期望的定义建立方程，求出完整的分布列，进而利用方差公式求得结果。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 随机变量 $\xi$ 的取值为 $0,1,2$.若 $P(\xi =0)=\frac{1}{5}$，$E(\xi )=1$，则 $D(\xi )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设未知量：设 $P(\xi =1)=p$，则根据概率之和为 $1$，可表示出 $P(\xi =2)$。
2. 利用期望求概率：根据 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i=1$ 建立关于 $p$ 的一元一次方程，解出各取值的概率。
3. 计算方差：利用方差定义公式 $D(\xi )=\sum (x_i-E(\xi ){)}^2{p}_i$ 或 $D(\xi )=E({\xi }^2)-[E(\xi ){]}^2$ 计算结果。

✅【答案】

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$\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求分布列 设 $P(\xi =1)=p$，因为 $P(\xi =0)+P(\xi =1)+P(\xi =2)=1$， 所以 $P(\xi =2)=1-p-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}-p$。 由 $E(\xi )=1$ 得： $0\times \frac{1}{5}+1\times p+2\times \left(\frac{4}{5}-p\right)=1$ 解得：$p+\frac{8}{5}-2p=1⟹p=\frac{3}{5}$。 从而 $P(\xi =1)=\frac{3}{5}$，$P(\xi =2)=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$。 分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

第二步：计算方差 $D(\xi )$ 由方差公式 $D(\xi )=\sum (x_i-E(\xi ){)}^2{p}_i$： $D(\xi )=(0-1{)}^2\times \frac{1}{5}+(1-1{)}^2\times \frac{3}{5}+(2-1{)}^2\times \frac{1}{5}$ $D(\xi )=1\times \frac{1}{5}+0\times \frac{3}{5}+1\times \frac{1}{5}=\frac{2}{5}$

【答案】 $\frac{2}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量分布列的性质、期望与方差

2. 核心方法：利用概率和为 1 与期望公式列方程求分布列，再用方差公式求解

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正态分布的对称性、方差的线性性质 $D(a\xi +b)=a^{2}D(\xi )$。

2. 结论推广: 若分布列关于期望值对称（如本题 $P(0)=P(2)$ 且 $E=1$），方差的计算会显著简化。

3. 方法推广: 用 $D(\xi )=E({\xi }^2)-[E(\xi ){]}^2$ 或定义式求方差

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-08 填-分布列
• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2013-江西卷理-18 解-分布列