2014-浙江卷理-17 填-仰角

本题导读

本题是一个立体几何背景下的最值问题。核心在于建立仰角 $\theta$ 的正切值关于目标点 $P$ 位置变量的函数关系式，并利用导数工具寻找其最大值。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 如图，某人在垂直于水平地面 $ABC$ 的墙面前的点 $A$ 处进行射击训练.已知点 $A$ 到墙面的距离为 $AB$，某目标点 $P$ 沿墙面上的射击线 $CM$ 移动，此人为为了准确瞄准目标点 $P$，需计算由点 $A$ 观察点 $P$ 的仰角 $\theta$ 的大小.若 $AB=15m$，$AC=25m$，$\angle BCM=30^{\circ }$，则 $\tan \theta$ 的最大值是 $\underline{}$（仰角 $\theta$ 为直线 $AP$ 与平面 $ABC$ 所成角）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定几何背景：墙面垂直于地面，过 $P$ 作 $P{P}^{\prime }\perp BC$ 于 $P^{\prime }$，则 $P{P}^{\prime }\perp$ 平面 $ABC$。仰角 $\theta$ 即 $\angle PA{P}^{\prime }$。
2. 建立函数关系：
   • 在直角 $△ABC$ 中，已知 $AB=15,AC=25$，由勾股定理得 $BC=20$。
   • 设 $B{P}^{\prime }=x$。根据 $P^{\prime }$ 在射线 $CB$ 上的位置，分 $P^{\prime }$ 在线段 $CB$ 内和在 $CB$ 延长线上两种情况讨论。
   • $\tan \theta =\frac{P{P}^{\prime }}{A{P}^{\prime }}$。其中 $P{P}^{\prime }$ 可由 $△CP{P}^{\prime }$ 及 $\angle BCM=30^{\circ }$ 求得，$A{P}^{\prime }$ 在直角 $△AB{P}^{\prime }$ 中由勾股定理求得。
3. 求最值：对得到的函数式利用导数求最大值。

✅【答案】

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$\frac{5\sqrt{3}}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：基础数据计算

在平面 $ABC$ 中，$AB\perp BC$，已知 $AB=15,AC=25$，由勾股定理： $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{25^2-15^2}=20$ 过 $P$ 作 $P{P}^{\prime }\perp BC$ 于 $P^{\prime }$，连接 $A{P}^{\prime }$。则 $P{P}^{\prime }\perp$ 平面 $ABC$，仰角 $\tan \theta =\frac{P{P}^{\prime }}{A{P}^{\prime }}$。

第二步：分类讨论与建立函数 设 $B{P}^{\prime }=x$。在直角 $△AB{P}^{\prime }$ 中，$A{P}^{\prime }=\sqrt{15^2+x^2}=\sqrt{225+x^2}$。

• 情况 1：$P^{\prime }$ 在线段 $BC$ 上（含端点） $C{P}^{\prime }=20-x$，$P{P}^{\prime }=C{P}^{\prime }\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}(20-x)$。 $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{20-x}{\sqrt{225+x^2}}$。经判断，此函数在 $x\in [0,20]$ 上递减，$x=0$ 时取得最大值 $\frac{4\sqrt{3}}{9}$。
• 情况 2：$P^{\prime }$ 在射线 $CB$ 的延长线上 $C{P}^{\prime }=20+x$ ($x>0$)，$P{P}^{\prime }=\frac{\sqrt{3}}{3}(20+x)$。 $\tan \theta =\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{20+x}{\sqrt{225+x^2}}$。

第三步：利用导数求最值 令 $y=\frac{20+x}{\sqrt{225+x^2}}$，求导得： $y^{\prime }=\frac{1\cdot \sqrt{225+x^2}-(20+x)\cdot \frac{x}{\sqrt{225+x^2}}}{225+x^2}=\frac{225+x^2-20x-x^2}{(225+x^2)\sqrt{225+x^2}}=\frac{225-20x}{(225+x^2{)}^{3/2}}$ 令 $y^{\prime }=0$，得 $x=\frac{225}{20}=\frac{45}{4}$。 当 $x=\frac{45}{4}$ 时，$y$ 取得最大值： $y_{max}=\frac{20+\frac{45}{4}}{\sqrt{225+(\frac{45}{4}{)}^2}}=\frac{\frac{125}{4}}{\sqrt{225(1+\frac{9}{16})}}=\frac{\frac{125}{4}}{15\cdot \frac{5}{4}}=\frac{125}{75}=\frac{5}{3}$ 此时 $\tan \theta$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{5}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{9}$。

第四步：比较大小 比较 $\frac{4\sqrt{3}}{9}$ 与 $\frac{5\sqrt{3}}{9}$，可知 $\frac{5\sqrt{3}}{9}$ 更大。

【答案】 $\frac{5\sqrt{3}}{9}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间几何体中仰角（线面角）的最值问题

2. 核心方法：建立 $\tan \theta$ 关于位置变量的函数并用导数求最值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面角的定义与勾股定理

2. 结论推广: 对于 $\frac{a+x}{\sqrt{b+x^2}}$ 型函数，其极值点出现在 $x=\frac{b}{a}$ 处。

3. 方法推广: 面对立体几何中的最值/范围问题，建立坐标系并参数化是极具普适性的方案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷文-10 单-仰角最大值