2014-湖北卷文-22 解-轨迹分类

本题导读

(1) 把「比到 $y$ 轴距离多 $1$」写成 $|MF|=|x|+1$ 后平方去绝对值；(2) 对抛物线部分与射线部分分别联立，按 $k$ 分段合并交点数。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 $1$，记点 $M$ 的轨迹为 $C$.

(1) 求轨迹 $C$ 的方程；

(2) 设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $P(-2,1)$，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时 $k$ 的相应取值范围.

🔍【思路分析】

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$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x|+1$ 平方化简；联立后按 $\Delta$ 与射线交点合并。

✅【答案】

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(1) $y^2=4x$（$x⩾0$）与 $y=0$（$x⩽0$）；(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $M(x,y)$，则 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x|+1$，平方整理得 $y^2=2x+2|x|$。当 $x⩾0$ 时 $y^2=4x$；当 $x<0$ 时 $y=0$。故 $C:y^2=4x(x⩾0)$，及 $y=0(x⩽0)$。 (2) $l$：$y-1=k(x+2)$。与抛物线 $y^2=4x$ 联立：$k{y}^2-4y+8k+4=0$。当 $k=0$ 时 $y=1$，恰一个交点。当 $k\ne 0$ 时 $\Delta =16-4k(8k+4)=16(1+k)(1-2k)$：$k<-1$ 或 $k>\frac{1}{2}$ 时无交点；$k=-1$ 或 $k=\frac{1}{2}$ 时一个（切点）；$-1<k<\frac{1}{2}$ 且 $k\ne 0$ 时两个。 再与射线 $y=0(x⩽0)$ 联立：$y=0$ 得 $x=-2-\frac{1}{k}$，其满足 $x⩽0$ 当且仅当 $k>0$ 或 $k⩽-\frac{1}{2}$；$k=0$ 时无交点；$k=-\frac{1}{2}$ 时交点为原点，与抛物线交点重合只计一次。 合并：交点数 $1$：$k\in (-\infty ,-1)\cup \{0\}\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$；交点数 $2$：$k\in \{-1\}\cup \left[-\frac{1}{2},0\right)\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}$；交点数 $3$：$k\in \left(-1,-\frac{1}{2}\right)\cup \left(0,\frac{1}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：轨迹方程与直线位置分类

2. 核心方法：平方去绝对值 + 判别式 + 射线交点

3. 避坑指南：轨迹是「半支抛物线 + 负半轴射线」的拼接体，直线 $l$ 过 $P(-2,1)$ 在射线端原点附近要特别小心 $k=-\frac{1}{2}$ 的重合计数；与抛物线的交点还要区分 $\Delta$ 的符号与 $k=0$ 的退化情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 轨迹方程与直线与曲线交点个数的分类讨论压轴。

2. 结论推广: $y^2=2x+2|x|$ 分段：$x⩾0$ 时 $y^2=4x$，$x<0$ 时 $y=0$。

3. 方法推广: 直线与拼接曲线的交点个数问题：分别对每一部分联立，再按 $k$ 的区间合并计数；重合点（原点）只计一次。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-20 解-二项分布
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义