2014-湖北卷理-17 解-辅助角公式

本题导读

本题以实验室温度变化为背景，考查三角函数辅助角公式的应用、函数最值的求解以及三角不等式的解法。重点在于将复杂的三角表达式化简为正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的形式进行分析。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 某实验室一天的温度（单位：${}^{\circ }\text{C}$）随时间 $t$（单位：$h$）的变化近似满足函数关系：

$f(t)=10-\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{12}t-\sin \frac{\pi }{12}t,t\in [0,24)$.

(1) 求实验室这一天的最大温差；

(2) 若要求实验室温度不高于 $11^{\circ }\text{C}$，则在哪段时间实验室需要降温？

🔍【思路分析】

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1. 化简函数解析式：利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，将 $f(t)$ 化为 $10-2\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})$ 的形式。
2. 求解第一问：
   • 确定整体角 $\theta =\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}$ 的取值范围。
   • 根据正弦函数的有界性确定 $f(t)$ 的最大值与最小值。
   • 温差 = 最大值 - 最小值。
3. 求解第二问：
   • “需要降温”意味着温度 $f(t)>11$。
   • 列出不等式 $10-2\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})>11$，简化为 $\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})<-\frac{1}{2}$。
   • 结合 $t$ 的范围解出 $t$ 的区间。

✅【答案】

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(1) 化简与求值

✍【详细解析】

Abstract

(1) 化简与求值 因为 $f(t)=10-(\sin \frac{\pi }{12}t+\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{12}t)$ 利用辅助角公式： $f(t)=10-2(\frac{1}{2}\sin \frac{\pi }{12}t+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{\pi }{12}t)=10-2\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})$。

由 $0\le t<24$ 得： $\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}<2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$。 在该范围内，正弦函数 $\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})$ 能够取到最大值 $1$ 和最小值 $-1$。

• 当 $\sin (\dots )=1$ 时，$f(t{)}_{\min }=10-2(1)=8$；
• 当 $\sin (\dots )=-1$ 时，$f(t{)}_{\max }=10-2(-1)=12$。 最大温差为 $12-8=4^{\circ }\text{C}$。

(2) 解不等式 由题意，实验室需要降温即 $f(t)>11$： $10-2\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})>11$ $-2\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})>1$ $\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})<-\frac{1}{2}$。

由 $\frac{\pi }{3}\le \frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}<\frac{7\pi }{3}$ 及正弦函数图象知： $\frac{7\pi }{6}<\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3}<\frac{11\pi }{6}$ 两边减去 $\frac{\pi }{3}$： $\frac{5\pi }{6}<\frac{\pi }{12}t<\frac{9\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}$ 两边同乘以 $\frac{12}{\pi }$： $10<t<18$。 所以，在 $10$ 时至 $18$ 时，实验室需要降温。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式、三角函数最值与不等式解法

2. 核心方法：辅助角公式化 $f(t)=10-2\sin (\frac{\pi }{12}t+\frac{\pi }{3})$，求最值得温差，解不等式求降温时段

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 辅助角公式与正弦型函数应用

2. 结论推广: $a\sin x+b\cos x$ 化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$。

3. 方法推广: 可迁移到三角函数实际应用题求最值与解不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷理-04 单-辅助角公式
• 2013-新课标I卷理-15 填-辅助角公式
• 2013-江西卷理-11 填-倍角公式