2014-湖南卷理-02 单-简单随机抽样

本题导读

本题考查统计学中三种基本抽样方法的核心特征。重点在于理解无论采用哪种抽样方法，其本质都必须保证抽样的公平性，即总体中每个个体被抽中的概率均相等。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 对一个容量为 $N$ 的总体抽取容量为 $n$ 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_1,p_2,p_3$，则()

A. $p_1=p_2<p_3$　　　　　　　　　　　　　　　B. $p_2=p_3<p_1$

C. $p_1=p_3<p_2$　　　　　　　　　　　　　　　D. $p_1=p_2=p_3$

🔍【思路分析】

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1. 理解抽样公平性：抽样调查的基本原则是样本对总体具有代表性。为了实现这一点，各种随机抽样方法在设计上都必须确保每个个体入样的机会是均等的。
2. 分析概率计算：
   • 简单随机抽样：每个个体被抽中的概率直观上就是 $n/N$。
   • 系统抽样：将总体分成 $n$ 个部分，每部分抽 1 个，每个个体入样概率依然是 $1/(N/n)=n/N$。
   • 分层抽样：按比例抽样，某层容量为 $N_i$，抽取 $n_i=N_i\cdot (n/N)$，该层个体入样概率为 $n_i/N_i=n/N$。
3. 得出结论：三种方法的个体入样概率均等于样本容量与总体容量的比值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据抽样调查的基本定义与原理：

• 简单随机抽样：是指从总体中逐个不放回地抽取，每个个体被抽到的概率相等，均为 $n/N$。
• 系统抽样：又称等距抽样，虽然抽取过程有间隔限制，但从总体层面看，每个个体进入样本的概率均等，均为 $n/N$。
• 分层抽样：是按比例从不同层中抽取，保证了每一层中个体被抽到的概率与其在总体中被抽到的概率一致，计算结果仍为 $n/N$。

综上所述，三种抽样方法中，每个个体被抽到的概率都相等，即： $p_1=p_2=p_3=\frac{n}{N}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三种抽样方法的公平性

2. 核心方法：分析各抽样方法下每个个体入样概率均为 $\frac{n}{N}$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抽样调查的等概率原则

2. 结论推广: 三种抽样方法每个个体被抽中概率均等于 $\frac{n}{N}$。

3. 方法推广: 可迁移到抽样方法概率比较类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-04 单-简单随机抽样
• 2015-湖北卷文-02 单-随机抽样
• 2013-安徽卷理-05 单-随机抽样