2014-福建卷理-07 单-分段函数的解析式与图象

本题导读

本题考查分段函数的综合性质，包括奇偶性、单调性、周期性和值域。解题关键是利用数形结合思想，分别分析函数在 $x>0$ 和 $x\le 0$ 两段上的图象特征及取值范围。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+1,& x>0\\ \cos x,& x\le 0\end{array}$ 则下列结论正确的是()

A. $f(x)$ 是偶函数　　　　　　　　　　B. $f(x)$ 是增函数

C. $f(x)$ 是周期函数　　　　　　　　　D. $f(x)$ 的值域为 $[-1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

处理分段函数的性质问题，最直观的方法是画出草图或分段分析：

1. 奇偶性：考察图象是否关于 $y$ 轴对称，或者寻找反例验证 $f(-x)\ne f(x)$。
2. 单调性：观察函数在整个定义域内是否保持同一种增减趋势。注意到当 $x\le 0$ 时，包含余弦函数，必然有波动。
3. 周期性：周期函数要求在整个定义域上表现出重复性。右侧为二次函数，可知不具备周期性。
4. 值域：分别求出 $x>0$ 时 $x^2+1$ 的取值范围，以及 $x\le 0$ 时 $\cos x$ 的取值范围，最后取两者的并集。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

逐项分析：

• A 选项（奇偶性）：取 $x=\pi$，则 $f(\pi )={\pi }^2+1$。而 $f(-\pi )=\cos (-\pi )=-1$。可知 $f(\pi )\ne f(-\pi )$，即不满足 $f(-x)=f(x)$，所以 $f(x)$ 不是偶函数（其图象也不关于 $y$ 轴对称）。故 A 错误。
• B 选项（单调性）：当 $x\le 0$ 时，$f(x)=\cos x$。余弦函数在 $(-\infty ,0]$ 上有无数个波峰和波谷，不具备单调性（例如在 $[-\pi ,0]$ 上单调递增，在 $[-2\pi ,-\pi ]$ 上单调递减）。故 B 错误。
• C 选项（周期性）：当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2+1$ 是二次函数的一部分，其图象是一条持续上升的抛物线，没有任何重复的周期特征。故整体函数不可能是周期函数。故 C 错误。
• D 选项（值域）：
  • 当 $x>0$ 时，$x^2>0⟹x^2+1>1$，这一段的值域为 $(1,+\infty )$。
  • 当 $x\le 0$ 时，根据余弦函数的有界性，$-1\le \cos x\le 1$，这一段的值域为 $[-1,1]$。
  • 整个函数的值域是两段值域的并集，即 $(1,+\infty )\cup [-1,1]=[-1,+\infty )$。故 D 正确。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的奇偶性、单调性、周期性与值域

2. 核心方法：分段求值域再取并集，举反例否定奇偶性与周期性

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段函数与基本初等函数性质综合

2. 结论推广: 分段函数值域为各段值域的并集。

3. 方法推广: 可迁移到分段函数性质判断与图象分析类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-13 填-函数解析式
• 2015-陕西卷文-04 单-分段函数
• 2015-浙江卷文-12 填-分段函数