2014-福建卷理-13 填-基本不等式的应用

本题导读

本题考查利用基本不等式解决实际生活中的最值问题。解题的关键是根据题意正确列出容积、面积的代数表达式，并构造出总造价的函数模型，最后应用基本不等式求解。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 要制作一个容积为 4 m³，高为 1 m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是$\underline{}$（单位：元）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设未知数：设出长方形底面的长和宽。
2. 挖掘等量关系：利用“容积为 4 m³”和“高为 1 m”建立底面长和宽的等式关系（即乘积为定值）。
3. 构建目标函数：分别计算底面面积和侧面面积，乘以对应的单价，将总造价表示为关于长和宽的函数。
4. 利用基本不等式求最值：观察目标函数结构，利用“积为定值，和有最小值”的基本不等式性质求出最低造价，并验证等号成立的条件。

✅【答案】

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160

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构建数学模型 设该无盖长方形容器的底面长为 $x$ m，宽为 $y$ m（$x>0,y>0$）。 由题意知，容器高 $h=1$ m，容积 $V=x\cdot y\cdot h=4$， 所以 $xy=4$。

第二步：表示总造价

• 容器的底面积为 $xy=4$ ㎡，底面造价为 $4\times 20=80$ 元（由于底面积是固定的常数，底面造价也是固定的）。
• 容器的侧面积包括四个面，其面积和为 $2xh+2yh=2x+2y$ ㎡，侧面造价为 $10\times (2x+2y)=20(x+y)$ 元。 设总造价为 $W$ 元，则： $W=80+20(x+y)$

第三步：利用基本不等式求最值 因为 $x>0,y>0$，根据基本不等式： $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 将 $xy=4$ 代入，得： $x+y\ge 2\sqrt{4}=4$ 所以总造价 $W\ge 80+20\times 4=160$。 当且仅当 $x=y=2$ 时，等号成立。

因此，该容器的最低总造价是 160 元。

故答案为 160

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式在实际最值问题中的应用

2. 核心方法：设底面长宽，由容积得 $xy=4$，用 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 求总造价最小值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 均值不等式（积定和最小）

2. 结论推广: 当 $xy$ 为定值时，$x+y$ 在 $x=y$ 时取最小值。

3. 方法推广: 可迁移到构造定值用基本不等式求最值类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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