2014-福建卷理-19 解-离心率

本题导读

本题是解析几何的综合大题。第一问利用渐近线斜率与 $a,b$ 的关系求离心率；第二问是一道探究性问题，通过设定三角形面积恒为定值这一条件，反推双曲线方程，并利用判别式法验证直线与双曲线相切（只有一个公共点）的条件。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的两条渐近线分别为 $l_1:y=2x,l_2:y=-2x$.

(1) 求双曲线 $E$ 的离心率；

(2) 如图， $O$ 为坐标原点，动直线 $l$ 分别交直线 $l_1,l_2$ 于 $A,B$ 两点（$A,B$ 分别在第一、四象限），且 $△OAB$ 的面积恒为 $8$，试探究：是否存在总与直线 $l$ 有且只有一个公共点的双曲线 $E$？若存在，求出双曲线 $E$ 的方程；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：
   • 熟悉双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。
   • 建立 $\frac{b}{a}=2$ 的等量关系，代入离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 求解。
2. 第二问分析：
   • 特殊情况入手：先假设直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴。根据面积为 $8$ 求出此时的截距 $a$，从而预设出一个可能的双曲线方程。
   • 一般性证明：设出直线 $l$ 的一般方程 $y=kx+m$。
   • 面积转化：求出 $A,B$ 点坐标，利用面积公式 $S=\frac{1}{2}|OC|\cdot |y_1-y_2|$（其中 $C$ 是 $l$ 与 $x$ 轴交点）建立 $k$ 与 $m$ 的关系。
   • 位置关系判定：将直线与预设的双曲线方程联立，计算判别式 $\Delta$。若 $\Delta =0$ 恒成立，则说明直线与双曲线始终相切，即只有一个公共点。

✅【答案】

点击查看答案

(2) 探究双曲线 $E$ 的方程；特殊位置分析；一般性证明

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求双曲线 $E$ 的离心率 由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 可知其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 又已知渐近线为 $y=\pm 2x$，所以 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$。 则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{a^2+(2a{)}^2}=\sqrt{5}a$。 故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}a}{a}=\sqrt{5}$。

(2) 探究双曲线 $E$ 的方程 由(1)知 $b=2a$，双曲线 $E$ 的方程可设为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4a^2}=1$。 特殊位置分析：当直线 $l\perp x$ 轴时，设其方程为 $x=x_0$。 若直线与双曲线有且只有一个公共点，则该点必为顶点，即 $x_0=a$。 此时 $A(a,2a),B(a,-2a)$，$△OAB$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot 4a=2a^2$。 令 $2a^2=8$，解得 $a^2=4$，此时双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。

一般性证明：下面证明对于满足条件的任意直线 $l$，与双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$ 均只有一个公共点。 设直线 $l$ 的方程为 $y=kx+m$。由于 $A,B$ 分别在第一、四象限，直线的斜率范围需满足 $k>2$ 或 $k<-2$。 直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $C(-\frac{m}{k},0)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=2x\\ y=kx+m\end{array}⟹A(\frac{m}{2-k},\frac{2m}{2-k})$； 联立 $\{\begin{array}{l}y=-2x\\ y=kx+m\end{array}⟹B(\frac{m}{-2-k},\frac{2m}{2+k})$。 $△OAB$ 的面积 $S=S_{△OAC}+S_{△OBC}=\frac{1}{2}|OC|\cdot |y_A-y_B|$： $S=\frac{1}{2}\left|-\frac{m}{k}\right|\cdot \left|\frac{2m}{2-k}-\frac{2m}{2+k}\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{|m|}{|k|}\cdot \frac{|4km|}{|4-k^2|}=\frac{2m^2}{|4-k^2|}=8$ 由此得关系式：$m^2=4|4-k^2|$。由于 $k^2>4$，故 $m^2=4(k^2-4)$。

将 $y=kx+m$ 代入 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$，即 $4x^2-y^2=16$： $4x^2-(kx+m{)}^2-16=0⟹(4-k^2)x^2-2kmx-(m^2+16)=0$。 判别式 $\Delta =(-2km{)}^2+4(4-k^2)(m^2+16)=4k^2{m}^2+4(4m^2+64-k^2{m}^2-16k^2)$ $\Delta =16(m^2+16-4k^2)$。 代入 $m^2=4k^2-16$： $\Delta =16(4k^2-16+16-4k^2)=0$。 因为 $4-k^2\ne 0$ 且 $\Delta =0$ 恒成立，所以直线 $l$ 与双曲线始终相切，即只有一个公共点。

因此，存在符合条件的双曲线 $E$，其方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线、离心率与直线位置关系

2. 核心方法：由 $\frac{b}{a}=2$ 求离心率，设直线联立用判别式证相切并反推方程

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线渐近线与判别式判定位置关系

2. 结论推广: 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

3. 方法推广: 可迁移到圆锥曲线离心率求值、直线与曲线位置关系探究类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-12 填-椭圆离心率
• 2023-新高考I卷-05 单-椭圆离心率
• 2015-福建卷文-11 单-椭圆离心率