2014-重庆卷文-15 填-几何概型

本题导读

设小张、小王到校时刻为 $x$，$y\in [0,20]$（从 $7:30$ 起计），事件即 $y-x⩾5$，用面积比。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 某校早上 $8:00$ 上课，假设该校学生小张与小王在早上 $7:30-7:50$ 之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早 $5$ 分钟到校的概率为　　　.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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样本空间是边长 $20$ 的正方形；事件区域是直角边 $15$ 的等腰直角三角形。

✅【答案】

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$\frac{9}{32}$

✍【详细解析】

Abstract

设小张到校时刻为 $x$、小王到校时刻为 $y$（单位：分钟，从 $7:30$ 起计），则 $0⩽x⩽20$，$0⩽y⩽20$，样本空间对应边长 $20$ 的正方形，面积 $20\times 20=400$。 “小张比小王至少早 $5$ 分钟到校”即 $y-x⩾5$。 在正方形内作直线 $y=x+5$，满足 $y⩾x+5$ 的部分是以 $15$ 为直角边的等腰直角三角形，面积 $\frac{1}{2}\times 15\times 15=112.5$。 故所求概率 $P=\frac{112.5}{400}=\frac{9}{32}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：与面积有关的几何概型

2. 核心方法：建系面积比法

3. 避坑指南：“至少早 $5$ 分钟”对应 $y-x⩾5$，直角边是 $20-5=15$ 而不是 $20$；最后结果要化为最简分数 $\frac{9}{32}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 几何概型（面积型）。

2. 结论推广: 两人时刻记为 $(x,y)\in [0,20{]}^2$，事件 $y-x⩾5$ 对应直角边 $15$ 的等腰直角三角形。

3. 方法推广: “两人到校/会面”问题一律建系：横纵各表一人，条件化为线性不等式，用面积比。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

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