2014-重庆卷理-04 单-向量坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算以及利用向量垂直的充要条件（数量积为零）求解参数。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知向量 $\vec{a}=(k,3)$，$\vec{b}=(1,4)$，$\vec{c}=(2,1)$，且 $(2\vec{a}-3\vec{b})\perp \vec{c}$，则实数 $k=$ ()

A. $-\frac{9}{2}$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $\frac{15}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量线性运算：首先根据向量坐标运算法则，计算出组合向量 $2\vec{a}-3\vec{b}$ 的坐标。
2. 利用垂直条件：根据向量垂直的充要条件，若两非零向量垂直，则它们的数量积（点积）为 $0$。即 $(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot \vec{c}=0$。
3. 建立方程求解：将坐标代入数量积公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，解关于 $k$ 的一元一次方程。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $2\vec{a}-3\vec{b}$ 的坐标 已知 $\vec{a}=(k,3)$，$\vec{b}=(1,4)$，则： $2\vec{a}=(2k,6)$ $3\vec{b}=(3,12)$ $2\vec{a}-3\vec{b}=(2k-3,6-12)=(2k-3,-6)$

第二步：利用垂直条件列方程 因为 $(2\vec{a}-3\vec{b})\perp \vec{c}$，且 $\vec{c}=(2,1)$， 所以 $(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot \vec{c}=0$。 根据坐标运算公式： $(2k-3)\times 2+(-6)\times 1=0$

第三步：解方程 $4k-6-6=0$ $4k=12$ $k=3$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量坐标运算与垂直的充要条件。

2. 核心方法：算 $2\vec{a}-3\vec{b}=(2k-3,-6)$，由数量积为 0 解 $k$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 两向量垂直等价于数量积为 0。

2. 结论推广: 垂直条件 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 建方程。

3. 方法推广: 由垂直列数量积方程求参数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算