2014-重庆卷理-08 单-双曲线定义

本题导读

本题考查双曲线的定义及离心率的计算。核心在于利用双曲线的定义（焦半径之差的绝对值）与已知条件（焦半径之和、焦半径之积）建立 $a,b$ 的代数关系，进而求解离心率。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左、右焦点，双曲线上存在一点 $P$ 使得 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=3b$， $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\frac{9}{4}ab$，则该双曲线的离心率为()

A. $\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $\frac{5}{3}$　　　　　　　C. $\frac{9}{4}$　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用双曲线定义：双曲线上点 $P$ 满足 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。
2. 构建代数关系：已知和 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=3b$ 和积 $|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\frac{9}{4}ab$。 利用完全平方公式的变形：$(|P{F}_1|+|P{F}_2|{)}^2-(|P{F}_1|-|P{F}_2|{)}^2=4|P{F}_1||P{F}_2|$，将已知量代入。
3. 转化为 $a,b$ 的方程：消去焦半径，得到关于 $a,b$ 的齐次方程。
4. 求解离心率：算出 $\frac{b}{a}$ 的值，利用公式 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$ 得出结果。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据定义与已知条件列式 由双曲线定义可知：$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。 已知：$|P{F}_1|+|P{F}_2|=3b$。 已知：$|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=\frac{9}{4}ab$。

第二步：利用恒等式消元 由于 $(|P{F}_1|+|P{F}_2|{)}^2-(|P{F}_1|-|P{F}_2|{)}^2=4|P{F}_1||P{F}_2|$， 代入各项可得： $(3b{)}^2-(2a{)}^2=4\times \frac{9}{4}ab$ $9b^2-4a^2=9ab$

第三步：求解 $\frac{b}{a}$ 将方程两边同时除以 $a^2$： $9(\frac{b}{a}{)}^2-9(\frac{b}{a})-4=0$ 设 $t=\frac{b}{a}$ ($t>0$)，则 $9t^2-9t-4=0$。 使用求根公式或十字相乘法：$(3t-4)(3t+1)=0$。 解得 $t=\frac{4}{3}$ 或 $t=-\frac{1}{3}$（舍去）。 故 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$。

第四步：计算离心率 $e$ $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+(\frac{b}{a}{)}^2$ $e^2=1+(\frac{4}{3}{)}^2=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$ 由于 $e>1$，则 $e=\frac{5}{3}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线定义与离心率计算。

2. 核心方法：用 $(|P{F}_1|+|P{F}_2|{)}^2-(|P{F}_1|-|P{F}_2|{)}^2=4|P{F}_1||P{F}_2|$ 得 $\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，求 $e$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线定义 $||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a$。

2. 结论推广: $e=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$。

3. 方法推广: 已知焦半径和差积求离心率用定义联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 2013-上海卷文-23 解-双曲线新定义
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线