2014-重庆卷理-12 填-对数运算与对数函数

本题导读

本题考查对数式的化简与二次函数最值的综合应用。解题关键在于利用对数的换底公式及性质将原函数转化为关于 ${\log }_{2}x$ 的二次函数，进而利用配方法求得最小值。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 函数 $f(x)={\log }_2\sqrt{x}\cdot {\log }_{\sqrt{2}}(2x)$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一底数：利用对数性质 ${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$ 和换底公式（或底数幂性质 ${\log }_{a^m}b=\frac{1}{m}{\log }_{a}b$），将函数中的对数式全部转化为以 2 为底的形式。
2. 结构化简：将 $f(x)$ 展开，整理成关于 ${\log }_{2}x$ 的多项式。
3. 构造二次函数：设 $t={\log }_{2}x$，由于 $x>0$，则 $t\in \mathbb{R}$。原函数转化为关于 $t$ 的二次函数。
4. 求最值：对二次函数进行配方，确定当 $t$ 取何值时函数取得最小值。

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简对数表达式 对于第一项：${\log }_2\sqrt{x}={\log }_2{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}{\log }_{2}x$。 对于第二项：${\log }_{\sqrt{2}}(2x)={\log }_{2^{\frac{1}{2}}}(2x)=\frac{1}{\frac{1}{2}}{\log }_2(2x)=2({\log }_{2}2+{\log }_{2}x)=2(1+{\log }_{2}x)$。

第二步：代入原函数并展开 $f(x)=(\frac{1}{2}{\log }_{2}x)\cdot [2(1+{\log }_{2}x)]$ $f(x)={\log }_{2}x\cdot (1+{\log }_{2}x)$ $f(x)=({\log }_{2}x{)}^2+{\log }_{2}x$

第三步：配方求最小值 令 $t={\log }_{2}x$，则 $f(t)=t^2+t$。 对 $t^2+t$ 进行配方： $f(t)=(t+\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{4}$ 当 $t=-\frac{1}{2}$（即 ${\log }_{2}x=-\frac{1}{2}⟹x=\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，函数 $f(x)$ 取得最小值。 最小值为 $-\frac{1}{4}$。

故答案为 $-\frac{1}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数化简与二次函数最值。

2. 核心方法：统一以 2 为底，令 $t={\log }_{2}x$ 化为 $t^2+t$ 配方求最小值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 换底公式与对数性质 ${\log }_{a^m}b=\frac{1}{m}{\log }_{a}b$。

2. 结论推广: $f(x)=({\log }_{2}x{)}^2+{\log }_{2}x$ 最小值 $-\frac{1}{4}$。

3. 方法推广: 对数式最值换元化为二次函数配方。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2024-甲卷理-15 填-对数运算
• 2024-北京卷-07 单-对数运算
• 2015-浙江卷文-09 填-对数运算