2012-上海卷文-06 填-指数方程与换元法

本题导读

本题考查指数方程，以及换元法。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 方程 $4^x-2^{x+1}-3=0$ 的解是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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令 $t=2^x$：$t^2-2t-3=0$，$t=3$（$t=-1$ 舍），$x={\log }_{2}3$。

✅【答案】

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$x={\log }_{2}3$

✍【详细解析】

Abstract

$4^x=(2^x{)}^2$，$2^{x+1}=2\cdot 2^x$。令 $t=2^x>0$，方程化为 $t^2-2t-3=0$。

解得 $t=3$ 或 $t=-1$；由 $t>0$ 舍去 $t=-1$。

故 $2^x=3$，$x={\log }_{2}3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程的换元解法

核心方法：统一底数后换元为二次方程，按 $t>0$ 取舍

避坑指南：$2^{x+1}=2\cdot 2^x$ 别算成 $(2^x)+1$；负根必须舍，$2^x>0$ 是隐含条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数方程入口题，与 2013 年上海卷文第 8 题、2015 年上海卷文第 8 题同族。

结论推广：形如 $a^{2x}+p{a}^x+q=0$ 的方程令 $t=a^x$ 化为二次方程，并检验 $t>0$。

方法推广：指数、对数方程套路：化同底 → 换元 → 解方程 → 按 定义域取舍。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-08 填-指数方程
• 2015-上海卷文-08 填-对数方程
• 2014-重庆卷理-12 填-对数运算与对数函数