2014-重庆卷理-20 解-切线斜率

本题导读

本题考查导数的综合应用。第一问利用偶函数定义及切线斜率确定参数；第二问利用均值不等式判定导函数符号从而确定单调性；第三问探讨极值存在的条件，涉及导函数零点存在性及符号变化的讨论。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)=a{e}^{2x}-b{e}^{-2x}-cx$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) 的导函数 $f^{\prime }(x)$ 为偶函数，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线的斜率为 $4-c$.

(1) 确定 $a,b$ 的值；

(2) 若 $c=3$，判断 $f(x)$ 的单调性；

(3) 若 $f(x)$ 有极值，求 $c$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：
   • 求导得到 $f^{\prime }(x)$。
   • 利用偶函数性质 $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$ 对任意 $x$ 恒成立，推导 $a,b$ 关系。
   • 利用导数的几何意义 $f^{\prime }(0)=4-c$ 建立方程组求解。
2. 第二问分析：
   • 代入 $a,b,c$ 的值得到具体的 $f^{\prime }(x)$。
   • 利用均值不等式 $2a{e}^{2x}+2b{e}^{-2x}\ge 2\sqrt{4ab}$ 判定 $f^{\prime }(x)$ 是否恒大于 0。
3. 第三问分析：
   • 函数有极值的充要条件是导函数 $f^{\prime }(x)$ 存在零点且在该点两侧正负符号发生改变。
   • 通过分析 $g(x)=2(e^{2x}+e^{-2x})$ 的值域，确定 $c$ 必须大于其最小值。

✅【答案】

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(1) 确定 $a,b$ 的值；(2)判断 $f(x)$ 的单调性；(3)求 $c$ 的取值范围

✍【详细解析】

Abstract

(1) 确定 $a,b$ 的值 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=2a{e}^{2x}+2b{e}^{-2x}-c$。 因为 $f^{\prime }(x)$ 为偶函数，所以 $f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$ 恒成立，即： $2a{e}^{-2x}+2b{e}^{2x}-c=2a{e}^{2x}+2b{e}^{-2x}-c$ 整理得：$2(a-b)(e^{-2x}-e^{2x})=0$。 由于该式对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，必有 $a-b=0⟹a=b$。 又已知曲线在 $x=0$ 处的切线斜率为 $4-c$，即 $f^{\prime }(0)=4-c$： $2a+2b-c=4-c⟹4a=4⟹a=1$。 故 $a=1,b=1$。

(2) 判断 $f(x)$ 的单调性 当 $a=1,b=1,c=3$ 时，导函数为 $f^{\prime }(x)=2e^{2x}+2e^{-2x}-3$。 由于 $2e^{2x}+2e^{-2x}\ge 2\sqrt{2e^{2x}\cdot 2e^{-2x}}=4$（当且仅当 $x=0$ 时等号成立）， 所以 $f^{\prime }(x)\ge 4-3=1>0$ 恒成立。 故 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上为增函数。

(3) 求 $c$ 的取值范围 由(1)知 $f^{\prime }(x)=2(e^{2x}+e^{-2x})-c$。 令 $e^{2x}=t$ ($t>0$)，则 $f^{\prime }(x)=0$ 等价于 $2(t+\frac{1}{t})-c=0$，即 $2t^2-ct+2=0$。 $f(x)$ 有极值，要求 $f^{\prime }(x)$ 变号零点存在。 考虑函数 $g(x)=2(e^{2x}+e^{-2x})$。 由均值不等式知 $g(x)\ge 2\cdot 2=4$，且当 $x=0$ 时取得最小值 4。

1. 若 $c<4$，则 $f^{\prime }(x)=g(x)-c>4-c>0$ 恒成立，无极值；
2. 若 $c=4$，则 $f^{\prime }(x)=g(x)-4\ge 0$ 且仅在 $x=0$ 处为 0，不发生变号，无极值；
3. 若 $c>4$，方程 $2t^2-ct+2=0$ 的判别式 $\Delta =c^2-16>0$。 此时方程有两个不同的正根 $t_1,t_2$，对应两个不同的自变量 $x_1,x_2$。 在 $x_1,x_2$ 处 $f^{\prime }(x)$ 均会发生符号改变。 综上所述，若 $f(x)$ 有极值，$c$ 的取值范围为 $(4,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数综合（偶函数、切线、单调性、极值）。

2. 核心方法：由偶函数与切线斜率求 $a,b$，均值不等式判单调，讨论 $c>4$ 有极值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数几何意义与均值不等式。

2. 结论推广: $2e^{2x}+2e^{-2x}\ge 4$ 当且仅当 $x=0$。

3. 方法推广: 极值存在需导函数变号零点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2013-辽宁卷理-09 单-直线斜率
• 2014-辽宁卷文-08 单-抛物线斜率