2014-陕西卷文-14 填-函数迭代

本题导读

依次计算 $f_1,f_2,f_3$，发现分母中 $x$ 的系数随迭代次数递增。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(文)） 已知 $f(x)=\frac{x}{1+x}$（$x⩾0$），若 $f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$（$n\in {\mathbf{N}}_{+}$），则 $f_{2014}(x)$ 的表达式为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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算 $f_2$、$f_3$，归纳出 $f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$。

✅【答案】

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$\frac{x}{2014x+1}$

✍【详细解析】

Abstract

$f_1(x)=\frac{x}{1+x}$。 $f_2(x)=f(f_1(x))=\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}=\frac{x}{1+2x}$。 $f_3(x)=f(f_2(x))=\frac{\frac{x}{1+2x}}{1+\frac{x}{1+2x}}=\frac{x}{1+3x}$。 归纳（可用数学归纳法严格证明）得 $f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$，故 $f_{2014}(x)=\frac{x}{2014x+1}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的迭代与归纳推理

2. 核心方法：算出前三项找规律，再归纳（或归纳证明）

3. 避坑指南：$f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$ 中的系数恰好是迭代次数 $n$；把 $f_2$ 算错（分母写成 $1+x+x^2$）是最常见的失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的迭代与归纳推理。

2. 结论推广: $f(x)=\frac{x}{1+x}$ 的迭代满足 $f_n(x)=\frac{x}{1+nx}$。

3. 方法推广: 迭代数列先老老实实算 $f_1,f_2,f_3$，发现「分母系数递增」的规律后用归纳法（或递推验证）确认。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2014-陕西卷理-14 填-归纳推理
• 2014-浙江卷文-15 填-分段函数复合